Question

Доказать что n^3-3 не делится на 7! (8 класс)

Answer 1

Число n можно представить в виде:
n = 7k; n^3 - 3 = 7^3*n^3 - 3
n = 7k + 1; n^3 - 3 = (7k+1)^3 - 3 = (7k)^3 + 3*(7k)^2 + 3*7k + 1 - 3 = 7m - 2
n = 7k + 2; n^3 - 3 = (7k)^3 + 3*(7k)^2*2 + 3*7k*2^2 + 2^3 - 3 = 7m + 5
n = 7k + 3; n^3 - 3 = (7k)^3 + 3*(7k)^2*3 + 3*7k*3^2 + 3^3 - 3 = 7m + 24
n = 7k + 4; n^3 - 3 = (7k)^3 + 3*(7k)^2*4 + 3*7k*4^2 + 4^3 - 3 = 7m + 61
n = 7k + 5; n^3 - 3 = (7k)^3 + 3*(7k)^2*5 + 3*7k*5^2 + 5^3 - 3 = 7m + 122
n = 7k + 6; n^3 - 3 = (7k)^3 + 3*(7k)^2*6 + 3*7k*6^2 + 6^3 - 3 = 7m + 213
Ни один из остатков не делится на 7.

Answer 2

Чтобы доказать, что \(n^3 - 3\) не делится на 7 для всех целых чисел \(n\), можно воспользоваться методом математической индукции.

1. База индукции (n=1): Подставим \(n=1\) в выражение \(n^3 - 3\): \[1^3 - 3 = 1 - 3 = -2\]

-2 не делится на 7. Таким образом, база индукции верна для \(n=1\).

2. Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для некоторого целого числа \(k\), т.е. \(k^3 - 3\) не делится на 7.

3. Доказательство для \(k+1\): Теперь докажем, что утверждение также верно для \(k+1\). Рассмотрим выражение \((k+1)^3 - 3\): \[(k+1)^3 - 3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - 3\] \[= (k^3 - 3) + 3k^2 + 3k + 1\]

Мы уже знаем, что \(k^3 - 3\) не делится на 7 (по предположению индукции), поэтому фокусируемся на оставшихся членах \(3k^2 + 3k + 1\).

Рассмотрим каждый из них по отдельности:

- \(3k^2\) делится на 7 только если \(k\) делится на 7 (так как 3 и 7 взаимно просты). - \(3k\) также делится на 7 только если \(k\) делится на 7. - 1 не делится на 7.

Таким образом, сумма \(3k^2 + 3k + 1\) не делится на 7.

Получается, что \((k+1)^3 - 3\) равно сумме \(k^3 - 3\) и \(3k^2 + 3k + 1\), и оно не делится на 7.

4. Заключение: Мы доказали, что если утверждение верно для некоторого целого числа \(k\), то оно также верно для \(k+1\). Поскольку база индукции верна для \(n=1\), то утверждение верно для всех целых чисел \(n\).

Таким образом, \(n^3 - 3\) не делится на 7 для любого целого числа \(n\).