Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2 y=8/x x=0

Answer 1

(8x / (x^2 + 4))"=(8х^2+32-16x^2)/(x^2 + 4)=(32-8x^2)/(x^2 + 4)^2

Приравниваем к 0 и решаем уравнение: 
32-8x^2=0 
x1=-2 
x2=2 
Обратно подставляем эти значения, в функцию, и находим, что минимум 
8x / (x^2 + 4)=-16/8=-2 
максимум 
8x / (x^2 + 4)=16/8=2 
Знаменатель функции не может быть равен 0, ни при каком значении "х", значит график не имеет точек разрыва. 
Для более точного построенния, можно взять ещё несколько значений "х". График будет симметричен (зеркально отображён)

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, мы можем использовать интегралы. Для начала, давайте построим график этих линий, чтобы лучше понять, какая фигура образуется.

Построение графика

Уравнение y = x^2 - это парабола, которая открывается вверх и имеет вершину в точке (0, 0). Уравнение y = 8/x - это гипербола, которая имеет асимптоты x = 0 и y = 0. И наконец, уравнение x = 0 - это вертикальная линия, которая проходит через x = 0.

Давайте нарисуем график:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 10, 400)
y1 = x**2
y2 = 8/x
y3 = np.zeros_like(x)

plt.plot(x, y1, label='y=x^2')
plt.plot(x, y2, label='y=8/x')
plt.plot(x, y3, label='x=0')
plt.fill_between(x, y1, y2, where=(y1 > y2), color='gray', alpha=0.5)

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.xlim(-10, 10)
plt.ylim(-10, 10)

plt.show()

Расчет площади

Фигура, ограниченная этими линиями, представляет собой область между параболой и гиперболой в первом квадранте. Чтобы вычислить площадь этой фигуры, мы можем разбить ее на две части - верхнюю и нижнюю, и затем проинтегрировать обе части.

Верхняя часть

Для верхней части фигуры, мы будем интегрировать от x = 0 до x = 2, где парабола y = x^2 находится выше гиперболы y = 8/x:

$$\int_{0}^{2} (x^2 - \frac{8}{x}) dx$$

Нижняя часть

Для нижней части фигуры, мы будем интегрировать от x = 2 до x = 4, где парабола y = x^2 находится ниже гиперболы y = 8/x:

$$\int_{2}^{4} (\frac{8}{x} - x^2) dx$$

Вычисление площади

Используя интегралы, мы можем вычислить площади верхней и нижней частей фигуры и затем сложить их, чтобы получить общую площадь:

$$\text{Площадь} = \int_{0}^{2} (x^2 - \frac{8}{x}) dx + \int_{2}^{4} (\frac{8}{x} - x^2) dx$$

Давайте рассчитаем это численно:

import scipy.integrate as spi

# Функции для интегралов
def upper_part(x):
    return x**2 - 8/x

def lower_part(x):
    return 8/x - x**2

# Вычисление площади
area_upper, _ = spi.quad(upper_part, 0, 2)
area_lower, _ = spi.quad(lower_part, 2, 4)
total_area = area_upper + area_lower

print("Площадь фигуры:", total_area)

После выполнения кода, мы получим приближенное значение площади фигуры, ограниченной заданными линиями.