Question

Решить неравенство sqrt(x^4-x^6-(1/4)x^2)<=x+2sinx

Answer 1

Исследуем ОДЗ корня.
$x^4-x^6-( \frac{1}{4} )x^2 \geq 0 \\ x^6+x^4+( \frac{1}{4} )x^2 \leq 0$
На этом этапе очевидно, что в ОДЗ входят те и только те значения, для которых:
$x^2(x^4+x^2+ \frac{1}{4})=0$
Записываем x=0, решаем простенькое биквадратное уравнение и получаем еще два корня:
x=√(2)/2
x=-√(2)/2
Теперь осталось только проверить для каких чисел из этих трех верно основное неравенство.
Ответ: x=0, x=√(2)/2

Answer 2

Данное неравенство содержит квадратный корень и тригонометрическую функцию, поэтому его решение может быть сложным. Но давайте постараемся разобраться в нем подробнее.

Вначале давайте приведем неравенство к более простому виду. Возведем обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

(sqrt(x^4 - x^6 - (1/4)x^2))^2 <= (x + 2sin(x))^2

x^4 - x^6 - (1/4)x^2 <= x^2 + 4xsin(x) + 4sin^2(x)

Теперь приведем все слагаемые в одну сторону:

x^4 - x^6 - (1/4)x^2 - x^2 - 4xsin(x) - 4sin^2(x) <= 0

Объединяем подобные слагаемые:

x^4 - x^6 - (5/4)x^2 - 4xsin(x) - 4sin^2(x) <= 0

Теперь мы имеем квадратное неравенство, которое можно решить. Однако, аналитическое решение этого неравенства может быть сложным, поскольку оно содержит как полиномы, так и тригонометрические функции.

Чтобы решить это неравенство, можно использовать численные методы или графический подход. Например, можно построить график функций y = x^4 - x^6 - (5/4)x^2 - 4xsin(x) - 4sin^2(x) и y = 0 и найти значения x, при которых графики пересекаются или функция меняет знак. Это позволит найти приближенное решение неравенства.

Также можно использовать численные методы, такие как метод бисекции или метод Ньютона, чтобы найти корни этого уравнения.

Однако, не могу предоставить точное аналитическое решение неравенства без использования численных методов или графического подхода, так как оно достаточно сложное.