Question

Помогите, пожалуйста, найти частные производные первого и второго порядка функции z = f (x, y) и показать, что она удовлетворяет данному уравнению.

Answer 1

Найдем частные производные первого порядка функции z=f(x,y)
$\frac{\partial z}{\partial x} = 8\sin (4x-5y) \cos (4x-5y)$
$\frac{\partial z}{\partial y} = -10\sin (4x-5y) \cos (4x-5y)$
Частные производные второго порядка найдем, используя формулу производной произведения для трех сомножителей:
$(u*v*w)^{'} = u^{'}*v*w + u*v^{'}*w+u*v*w^{'}$
$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = 32\cos^{2} (4x-5y) - 32\sin^{2} (4x-5y)$
$\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 50\cos^{2} (4x-5y) - 50\sin^{2} (4x-5y)$
$\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x} = 40\sin^{2} (4x-5y) - 40\cos^{2} (4x-5y)$
Найденные $\frac{\partial z}{\partial x}$ и $\frac{\partial z}{\partial y}$ подставим в уравнение и сократим на $2\sin (4x-5y) \cos (4x-5y)$
Получим
$5*4+4*(-5)=0$
Следовательно, функция удовлетворяет данному уравнению.