Question

Выделить главную степенную часть функции при x->0 и можно по шагам, пожалуйста. f(x)=e^(-x)+sin(x)-cos(x)

Answer 1

F(x)= e^x•sinx;
f’(x)= e^x•sinx-e^x•cosx=e^x•(sinx-cosx);
f’(0) =e^0•(sin0-cos0)=1•(0-(-1))=1.

Answer 2

Дана функция f(x) = e^(-x) + sin(x) - cos(x). Чтобы выделить главную степенную часть функции при x -> 0, мы должны разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x = 0 и оставить только члены с наивысшей степенью x.

Шаг 1: Разложение функции в ряд Тейлора Для функций, содержащих элементарные тригонометрические и экспоненциальные функции, мы можем использовать ряды Тейлора, чтобы разложить их в бесконечную сумму членов, зависящих от степеней переменной x.

Ряд Тейлора для функции e^x в окрестности x = 0 имеет вид: e^x = 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + ...

Ряд Тейлора для функции sin(x) в окрестности x = 0 имеет вид: sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - ...

Ряд Тейлора для функции cos(x) в окрестности x = 0 имеет вид: cos(x) = 1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - ...

Шаг 2: Выделение главной степенной части функции Чтобы выделить главную степенную часть функции при x -> 0, мы оставляем только члены с наивысшей степенью x. В данном случае, это будет x.

f(x) = e^(-x) + sin(x) - cos(x) = (1 - x + (x^2)/2! - (x^3)/3! + ...) + (x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - ...) - (1 - (x^2)/2! + (x^4)/4! - ...) = 1 - x + (x^2)/2! - (x^3)/3! + ... + x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - ... - 1 + (x^2)/2! - (x^4)/4! + ...

Сокращая одинаковые члены, мы получаем: f(x) = x

Таким образом, главная степенная часть функции f(x) при x -> 0 состоит только из члена x.