Question

На доске были написаны 10 последовательных натуральных чисел. Когда стёрли одно из них, то сумма девяти оставшихся оказалась равна 2017 Какое число стёрли?

Answer 1

n + (n+1) + (n+2) ... (n+9) = 10n + 45

выческнули (n+x), получается

9n +45 - x = 2017

n=(2017+x)/9

нужно что бы 2017+x делилось на 9, нужно что бы сумма цифр была кратна 9, значит

x = 8

n=225

остались числа 225 226 227 228 229 230 231 232 233

Answer 2

Пусть исходно на доске были числа \( a, a+1, a+2, \ldots, a+8, a+9 \), где \( a \) - некоторое натуральное число. Когда стерли одно из них, давайте предположим, что это было число \( k \).

Тогда сумма оставшихся девяти чисел равна:

\[ a + (a+1) + (a+2) + \ldots + (a+(k-1)) + (a+(k+1)) + \ldots + (a+9) \]

Мы знаем, что эта сумма равна 2017:

\[ a + (a+1) + (a+2) + \ldots + (a+(k-1)) + (a+(k+1)) + \ldots + (a+9) = 2017 \]

Теперь выразим эту сумму в более компактной форме. Сумма последовательных натуральных чисел от 1 до \( n \) равна \( \frac{n \cdot (n+1)}{2} \). В данном случае, сумма последовательных натуральных чисел от \( a \) до \( (a+9) \) равна \( \frac{10 \cdot (2a+9)}{2} \), что можно упростить до \( 10a + 45 \).

Таким образом, уравнение примет вид:

\[ 10a + 45 - k = 2017 \]

Теперь найдем значение \( k \):

\[ k = 10a + 45 - 2017 \]

\[ k = 10a - 1972 \]

Теперь мы знаем, что \( k \) должно быть одним из чисел от 1 до 9, так как на доске было 10 последовательных натуральных чисел. Попробуем значения \( a \), чтобы получить целые положительные значения \( k \). Начнем с \( a = 198 \):

\[ k = 10 \cdot 198 - 1972 = 1988 - 1972 = 16 \]

Таким образом, если на доске были числа от 198 до 207, то стерли число 16. Проверим:

\[ 198 + 199 + \ldots + 207 = 2017 \]

Убедимся, что это правильный ответ.