Question

Найдите общий вид первообразных f(x)=5x^2-2x+3

Answer 1

Для этого нужно найти неопределенный интеграл. 
$\int( 5x^2-2x+3) dx =\int5 x^{2} dx+\int(-2x)dx+\int 3dx=\\=5 \int x^{2} dx -2 \int xdx+3\int dx=5 \frac{x^3}{3} -2 \frac{ x^{2} }{2} +3x+C=\\= \frac{5}{3} x^3- x^{2} +3x+C$

Answer 2

Для нахождения первообразной функции \( f(x) = 5x^2 - 2x + 3 \), нужно найти функцию \( F(x) \), производная которой равна \( f(x) \).

Шаги:

1. Найдем первообразную для каждого члена \(5x^2\), \(-2x\) и \(3\) по отдельности.

2. Сложим эти первообразные, чтобы получить общую первообразную.

a) Для \(5x^2\) мы используем стандартную формулу для степеней \(x\):

\[ \int 5x^2 \,dx = \frac{5}{3}x^3 + C_1, \]

где \(C_1\) - произвольная константа.

b) Для \(-2x\) используем стандартную формулу для первой степени \(x\):

\[ \int -2x \,dx = -x^2 + C_2, \]

где \(C_2\) - также произвольная константа.

c) Для константы \(3\) используем формулу интеграла от константы:

\[ \int 3 \,dx = 3x + C_3, \]

где \(C_3\) - еще одна произвольная константа.

Теперь сложим эти результаты:

\[ F(x) = \frac{5}{3}x^3 - x^2 + 3x + C, \]

где \(C\) - константа, объединяющая все предыдущие константы. Таким образом, итоговая общая первообразная функции \(f(x) = 5x^2 - 2x + 3\) равна:

\[ F(x) = \frac{5}{3}x^3 - x^2 + 3x + C. \]

Где \(C\) - произвольная константа.