Question

Найти неопределенный интеграл dx/(sqrt(x(3x+5)))

Answer 1

(2 sinh^(-1)(sqrt(3/5) sqrt(x)))/sqrt(3)+constant

Answer 2

Для нахождения неопределенного интеграла ∫dx/√(x(3x+5)), мы можем использовать метод частей и замену переменной. Давайте рассмотрим оба подхода.

Метод частей

Метод частей основан на формуле интегрирования по частям, которая гласит:

∫u * dv = u * v - ∫v * du,

где u и v - это функции, а du и dv - их дифференциалы.

В данном случае, мы можем выбрать u = 1/√(x(3x+5)), а dv = dx. Тогда du будет равно:

du = d(1/√(x(3x+5))) = -1/2 * (3x+5)^(-3/2) * (6x+3) dx.

Теперь мы можем вычислить du и dv, и заменить их в формуле интегрирования по частям:

∫dx/√(x(3x+5)) = ∫u * dv = u * v - ∫v * du.

Вычислим каждую часть по очереди:

u = 1/√(x(3x+5)), dv = dx, v = ∫dv = x, du = -1/2 * (3x+5)^(-3/2) * (6x+3) dx.

Теперь мы можем подставить значения в формулу:

∫dx/√(x(3x+5)) = u * v - ∫v * du = (1/√(x(3x+5))) * x - ∫x * (-1/2 * (3x+5)^(-3/2) * (6x+3)) dx.

Вычислив эти интегралы, мы получим ответ.

Замена переменной

Другой подход к решению данного интеграла - это замена переменной. Давайте попробуем заменить x на новую переменную, чтобы упростить интеграл.

Пусть u = √(x(3x+5)). Тогда u^2 = x(3x+5), и мы можем выразить x через u:

x = (u^2)/(3u^2+5).

Теперь найдем производную от x по u:

dx/du = (6u(3u^2+5) - 2u^2 * 6u)/(3u^2+5)^2 = (18u^3 + 30u - 12u^3)/(3u^2+5)^2 = (6u^3 + 30u)/(3u^2+5)^2 = (6u(u^2 + 5))/(3u^2+5)^2.

Теперь мы можем заменить dx в исходном интеграле:

∫dx/√(x(3x+5)) = ∫(6u(u^2 + 5))/(3u^2+5)^2 * du.

Теперь интеграл стал проще, и мы можем его решить с помощью простых алгебраических преобразований и методов интегрирования.

Это два подхода к решению данного интеграла. Вы можете выбрать любой из них или использовать другие методы интегрирования, чтобы найти окончательный ответ.