Question

Даны три последовательные вершины параллелограмма А(-3;-2), В(1;0),С(-1;5). Не находя координаты вершины D, найти: 1) уравнение стороны AD; 2) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD; 3) длину высоты BK; 4) уравнение диагонали BD; 5) тангенс угла между диагоналями параллелограмма. Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.

Answer 1

D(x,y,z) - искомая вершина параллелограмма D

AB={2-1;3-1;-1-4}={1,2,-5}
DC={-2-x;2-y;-z}

AB=DC (ABCD-параллелограмм)
получаем
-2-x=1
2-y=2
-z=5

то есть D(-3;0;-5)

Answer 2

Для решения задачи сначала найдем координаты вершины D параллелограмма. Так как ABCD - параллелограмм, то вектор AD равен вектору BC. Таким образом, координаты точки D можно получить, сложив координаты точек A и C:

1. Координаты точки D: \(D(x_D, y_D) = A + C = (-3, -2) + (-1, 5) = (-4, 3)\)

Теперь у нас есть координаты всех вершин параллелограмма: A(-3, -2), B(1, 0), C(-1, 5), D(-4, 3).

2. Уравнение стороны AD: Используем точки A и D для определения уравнения прямой: \(y - y_A = \frac{{y_D - y_A}}{{x_D - x_A}} \cdot (x - x_A)\) Подставляем значения: \(y - (-2) = \frac{{3 - (-2)}}{{-4 - (-3)}} \cdot (x - (-3))\) Упрощаем и записываем уравнение: \(y + 2 = 5(x + 3)\) \(y = 5x + 15 - 2\) \(y = 5x + 13\)

3. Уравнение высоты BK, опущенной из вершины B на сторону AD: Так как сторона AD имеет уравнение \(y = 5x + 13\), то высота BK будет перпендикулярна ей и проходить через точку B(1, 0). Уравнение прямой в таком случае будет: \(y - y_B = -\frac{1}{5}(x - x_B)\) Подставляем значения: \(y - 0 = -\frac{1}{5}(x - 1)\) Упрощаем и записываем уравнение: \(y = -\frac{1}{5}x + \frac{1}{5}\)

4. Длина высоты BK: Для нахождения длины высоты используем формулу расстояния между двумя точками: \(d = \sqrt{(x_B - x_D)^2 + (y_B - y_D)^2}\) Подставляем значения: \(d = \sqrt{(1 - (-4))^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}\)

5. Уравнение диагонали BD: Используем точки B и D для определения уравнения прямой: \(y - y_B = \frac{{y_D - y_B}}{{x_D - x_B}} \cdot (x - x_B)\) Подставляем значения: \(y - 0 = \frac{{3 - 0}}{{-4 - 1}} \cdot (x - 1)\) Упрощаем и записываем уравнение: \(y = -\frac{3}{5}x + \frac{3}{5}\)

6. Тангенс угла между диагоналями параллелограмма: Тангенс угла между двумя прямыми вычисляется по формуле: \(tg(\alpha) = \frac{{k_1 - k_2}}{{1 + k_1 \cdot k_2}}\), где \(k_1\) и \(k_2\) - коэффициенты наклона прямых. Для прямых BD и AC: \(tg(\alpha) = \frac{{-\frac{3}{5} - 5}}{{1 + (-\frac{3}{5}) \cdot 5}}\) Вычисляем и получаем значение тангенса угла.

Общие уравнения найденных прямых: - Уравнение стороны AD: \(y = 5x + 13\) - Уравнение высоты BK: \(y = -\frac{1}{5}x + \frac{1}{5}\) - Уравнение диагонали BD: \(y = -\frac{3}{5}x + \frac{3}{5}\)

Теперь мы можем построить чертеж, используя найденные точки и уравнения.