Question

Решите логарифмическое уравнение log3x-6logx3=1

Answer 1

Log(b) или log(e,b)- натуральный логарифм числа b
log(10,b) - десятичный логарифм числа b
log(a,b) - логарифм b по основанию a

Answer 2

log3x-6*1/log3x=1

(log3x)²-6=log3x

(log3x)²-log3x-6=0

пусть    log3x=t          t²-t-6=0           t1+t2=1     

                                                          t1*t2=-6

                                                                t1=3       t2=-2

log3x=3       x=3³     x=27

log3x=-2       x=3^-2=1/9

Ответ:  х1=27     х2=1/9

Answer 3

Для решения данного логарифмического уравнения, нам потребуется использовать некоторые свойства логарифмов. Давайте разберемся по шагам.

Шаг 1: Использование свойств логарифмов

Воспользуемся следующими свойствами логарифмов: 1. logₐ(bᶜ) = c · logₐ(b) - свойство степени; 2. logₐ(b) + logₐ(c) = logₐ(b · c) - свойство произведения; 3. logₐ(b) - logₐ(c) = logₐ(b / c) - свойство деления.

Шаг 2: Преобразование уравнения

Данное уравнение имеет вид: log₃(x) - 6 · logₓ(3) = 1.

Применяем свойство степени ко второму слагаемому: logₓ(3) = log₃(3) / log₃(x) = 1 / log₃(x).

Теперь подставим это значение в исходное уравнение: log₃(x) - 6 · (1 / log₃(x)) = 1.

Шаг 3: Приведение уравнения к квадратному виду

Домножим обе части уравнения на log₃(x), чтобы избавиться от знаменателя: log₃(x)² - 6 = log₃(x).

Теперь приведем уравнение к квадратному виду: log₃(x)² - log₃(x) - 6 = 0.

Шаг 4: Замена переменной и решение квадратного уравнения

Введем новую переменную y = log₃(x), тогда уравнение примет вид: y² - y - 6 = 0.

Решим это квадратное уравнение с помощью факторизации или формулы для нахождения корней квадратного уравнения. Факторизуя полученное уравнение, мы получим: (y - 3)(y + 2) = 0.

Таким образом, мы получаем два возможных значения для y: y = 3 и y = -2.

Шаг 5: Возврат к исходной переменной и проверка решений

Теперь, найдя значения для y, вернемся к исходной переменной x: 1. Для y = 3: log₃(x) = 3. Возводим обе части в степень 3: 3³ = x, получаем x = 27. 2. Для y = -2: log₃(x) = -2. Возводим обе части в степень 3: 3⁻² = x, получаем x = 1/9.

Ответ

Решение логарифмического уравнения log₃(x) - 6 · logₓ(3) = 1 состоит из двух значений: x = 27 и x = 1/9. Проверка показывает, что оба значения удовлетворяют исходному уравнению.