Question

Найдите сумму первых пяти членов прогрессии: 2/3; 1/2; 3/8; ...;

Answer 1

Ответ не сильно красиво выглядит  1394/729

Answer 2

Для нахождения суммы первых пяти членов данной прогрессии нужно сначала определить её общий вид или правило получения членов.

Дана прогрессия: \[ \frac{2}{3}, \frac{1}{2}, \frac{3}{8}, ... \]

Чтобы найти общий знаменатель для всех дробей, можно заметить, что знаменатель в каждом следующем члене умножается на 2:

\(\frac{2}{3}, \frac{1}{2}, \frac{3}{8}, \frac{3}{16}, \frac{3}{32}, ...\)

Таким образом, общий знаменатель для всех членов прогрессии - \(3 \cdot 2^n\), где \(n\) - номер члена прогрессии (нумерация начинается с 0).

Теперь найдём числовую последовательность числителей: \[2, 1, 3, 3, 3, ...\]

Из этой последовательности можно заметить, что числители имеют закономерность: все они равны 3 начиная со второго члена.

Теперь, когда у нас есть общий знаменатель и числители, мы можем выразить любой член прогрессии через общий знаменатель:

\[a_n = \frac{3}{3 \cdot 2^n} = \frac{3}{3 \cdot 2^n} = \frac{1}{2^n}\]

Теперь найдем сумму первых пяти членов прогрессии:

\[ S_5 = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} \]

Это представляет собой сумму элементов геометрической прогрессии со знаменателем 2 и первым членом 1:

\[ S_5 = \frac{1(1 - 2^5)}{1 - 2} = \frac{1 - 32}{-1} = \frac{-31}{-1} = 31 \]

Таким образом, сумма первых пяти членов данной прогрессии равна 31.