Question

Найти сумму корней (корень) уравнения 25^x+5^x+1 -50=0

Answer 1

25^x   +5^(x+1) -50 =0
5^2x   +5 *  5^x -50 =0
5^x = t      ;  5^x >0
t^2 + 5t -50  = 0
D= 25 - 4* 1 * (-50) = 25 +200 = 225 = 15²
t₁ = (-5-15)/ (2*1) = -20/2=-10
t₂= (-5 +15)/ (2*1) = 10/2 =5
5^x = -10   - нет решения
5^x = 5
5^x = 5^1
x=1

Answer 2

Давайте решим уравнение 25^x + 5^x + 1 - 50 = 0.

Для удобства приведем его к более простому виду, введя замену переменной. Обозначим 5^x за y. Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 + y - 50 = 0 \).

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \), где в данном случае \( a = 1, b = 1, c = -50 \).

Дискриминант (D) квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) вычисляется по формуле \( D = b^2 - 4ac \).

Для нашего уравнения:

\[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 1 + 200 = 201. \]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два вещественных корня \( x_1 \) и \( x_2 \), которые находятся по формулам:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]

Подставим значения:

\[ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{201}}{2}. \]

Таким образом, корни уравнения \( y^2 + y - 50 = 0 \) равны:

\[ y_1 = \frac{-1 + \sqrt{201}}{2} \] \[ y_2 = \frac{-1 - \sqrt{201}}{2} \]

Теперь вернемся к исходной переменной \( x \) с учетом замены \( y = 5^x \). Решим уравнение \( 5^x = \frac{-1 + \sqrt{201}}{2} \) и \( 5^x = \frac{-1 - \sqrt{201}}{2} \).

\[ x_1 = \log_5\left(\frac{-1 + \sqrt{201}}{2}\right) \] \[ x_2 = \log_5\left(\frac{-1 - \sqrt{201}}{2}\right) \]

Таким образом, мы нашли значения переменной \( x \), которые являются корнями исходного уравнения \( 25^x + 5^x + 1 - 50 = 0 \).