Question

Сумма наибольшего и наименьшего значений функции y=(2sin3x+2cos3x)^2 подробно, пожалуйста

Answer 1

Y=4sin²3x+8sin3xcos3x+4cos²3x=4(sin²3x+cos²3x)+4*2sin3xcos3x=4+4sin6x
-1≤sin6x≤1
-4≤4sin6x≤4
-4+4≤4+sin6x≤4+4
0≤4+sin6x≤8
y=0-наим
у=8-наиб

Answer 2

Для решения данной задачи необходимо найти наибольшее и наименьшее значения функции y=(2sin3x+2cos3x)^2.

Для начала, выразим функцию y через одну тригонометрическую функцию. Используем формулу сложения тригонометрических функций:

sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Применим данную формулу к функции y=(2sin3x+2cos3x)^2:

y = (2sin3x+2cos3x)^2 = (2(sin(3x)+cos(3x)))^2 = 4(sin^2(3x) + 2sin(3x)cos(3x) + cos^2(3x))

Теперь заметим, что sin^2(3x) + cos^2(3x) = 1 (это является следствием тригонометрического тождества). Подставим это в выражение для y:

y = 4(1 + 2sin(3x)cos(3x)) = 4 + 8sin(3x)cos(3x)

Далее, воспользуемся формулой двойного угла:

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)

Применим данную формулу к выражению 8sin(3x)cos(3x):

8sin(3x)cos(3x) = 4sin(6x)

Теперь, подставим это обратно в выражение для y:

y = 4 + 4sin(6x)

Таким образом, функция y=(2sin3x+2cos3x)^2 можно переписать в виде y = 4 + 4sin(6x).

Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения функции y. Заметим, что значение sin(6x) лежит в интервале [-1, 1], поэтому наибольшее и наименьшее значения y будут достигаться, когда sin(6x) принимает значения 1 и -1 соответственно.

Когда sin(6x) = 1, тогда y = 4 + 4(1) = 8.

Когда sin(6x) = -1, тогда y = 4 + 4(-1) = 0.

Таким образом, наибольшее значение функции y равно 8, а наименьшее значение равно 0.

Итого, сумма наибольшего и наименьшего значений функции y=(2sin3x+2cos3x)^2 равна 8 + 0 = 8.