Question

Что такое система линейных уравнений

Answer 1

Это когда в системе записано несколько линейных алгебраических уравнений с несколькими неизвестными

Answer 2

Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.Например, уравнение-линейное, а уравнения ине являются линейными.В общем виде система m линейных уравнений с n переменными записывается так:.                        (1)Числа 
  
называются коэффициентами при переменных, а
 -
свободными членами.Совокупность чисел

называется решением системы (1) линейных уравнений, если при подстановке их вместо переменных во все уравнения они обращаются в верные равенства.Изучение систем линейных уравнений начинается в средней школе. В школьном курсе рассматриваются в основном системы двух линейных уравнений с двумя переменными и два способа их решения - способ подстановки и способ сложения. Эти способы являются основой изучаемого в курсе высшей математикеметода Гаусса. Чтобы последовательно двигаться от простому к ещё более простому (сложному), повторим эти два школьных способа.Пример 1. Решить систему линейных уравнений способом подстановки:Решение. При решении способом подстановки сначала из какого-нибудь уравнения выражают одну переменную через другую. Полученное выражение подставляют в другое уравнение, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной. Затем находят соответствующее значение второй переменной.Выразим из первого уравнения  данной системы y через x (можно и наоборот) и получим:Подставив во второе уравнение данной системы вместо y выражение , получим системуДанная и полученная системы равносильны. В последней системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:Соответствующее значение y найдём, подставив вместо x число -5 в выражение , откуда Пара (-5; 2) является решением системы линейных уравнений.Пример 2. Решить систему линейных уравнений способом сложения:Решение. При решении систем линейных уравнений способом сложения мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.В уравнениях данной в этом примере системы коэффициенты при y - противоположные числа. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной:, или , .Заменим одно из уравнений исходной системы, например, первое, уравнением . Получим системуРешим полученную систему. Подставив значение  в уравнение , получим уравнение с одной переменной y:Пара (2; 1) является решением полученной системы линейных уравнений. Она является также решением исходной системы, так как эти две системы линейных уравнений равносильны.Пример 3. Почленное сложение уравнений системыне приводит к исключению одной из переменных. Но если умножить все члены первого уравнения на -3, а второго уравнения на 2, то коэффициенты при x в полученных уравнениях будут противоположными числами:Почленное сложение уравнений полученной в результате преобразований системы приводит к уравнению с одной переменной: . Из этого уравнения находим, что . ПолучилиРешением полученной системы, а следовательно и исходной системы линейных уравнений является пара чисел (-3; 0).Решив задачи из первых трёх примеров, мы научились производить элементарные преобразования, необходимые для решениях систем линейных уравнений в курсе высшей математики.Значительно ускоряет процесс решения систем линейныйх уравнений использование определителей.

Answer 3

Система линейных уравнений — это набор двух или более линейных уравнений, решение которого составляет набор значений переменных, удовлетворяющих каждому уравнению в системе. Линейное уравнение представляет собой уравнение первой степени, где переменные входят только с первой степенью.

Общий вид линейного уравнения с двумя переменными \(x\) и \(y\) может быть записан как:

\[ax + by = c\]

где \(a\), \(b\), и \(c\) — это константы, и \(x\) и \(y\) — переменные.

Система линейных уравнений может включать более одного уравнения с несколькими переменными. Например, система из двух линейных уравнений с двумя переменными \(x\) и \(y\) выглядит следующим образом:

\[ \begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases} \]

Где \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), и \(f\) — это константы.

Решение системы линейных уравнений — это такие значения переменных, которые удовлетворяют всем уравнениям в системе. Если система имеет одно решение, то она называется совместной и определенной. Если система не имеет решений, то она называется несовместной. Если у системы бесконечно много решений, то она называется совместной и неопределенной.

Решение систем линейных уравнений имеет множество практических применений, таких как решение задач оптимизации, анализ сетей, физических и экономических моделей, и многих других областях. Методы решения систем линейных уравнений включают метод замены, метод исключения, и матричные методы, такие как метод Гаусса и метод Крамера.