Question

Найти y '(0), если y = (x ^ 2-1) / (e ^ x).

Answer 1

$y= \frac{x^2-1}{e^{x}} \\\\y'= \frac{2x\cdot e^{x}-(x^2-1)\cdot e^{x}}{e^{2x}} = \frac{2x-x^2+1}{e^{x}}$

$y'(0)= \frac{1}{e^0} =1$

Answer 2

Для нахождения производной функции y(x) = (x^2 - 1) / e^x в точке x = 0, нужно выполнить несколько шагов.

Дана функция: \[ y(x) = \frac{x^2 - 1}{e^x} \]

1. Найдем производную функции \( y(x) \) по переменной \( x \), используя правила дифференцирования. Для этого разложим функцию в числитель и знаменатель: \[ y(x) = \frac{x^2 - 1}{e^x} = \frac{x^2}{e^x} - \frac{1}{e^x} \]

2. Теперь применяем правила дифференцирования: \[ y'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{e^x}\right) - \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{e^x}\right) \]

3. Найдем производные каждого слагаемого: - Для первого слагаемого используем правило частного дифференцирования: \(\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{e^x}\right) = \frac{(2x)(e^x) - (x^2)(e^x)}{(e^x)^2} = \frac{2xe^x - x^2e^x}{e^{2x}}\) - Для второго слагаемого используем правило дифференцирования степенной функции и константы: \(\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{e^x}\right) = -\frac{1}{e^x}\)

4. Теперь собираем все вместе: \[ y'(x) = \frac{2xe^x - x^2e^x}{e^{2x}} + \frac{1}{e^x} \]

5. Теперь найдем значение производной в точке x = 0: \[ y'(0) = \frac{2 \cdot 0 \cdot e^0 - 0^2 \cdot e^0}{e^{2 \cdot 0}} + \frac{1}{e^0} \] \[ y'(0) = \frac{0 - 0}{1} + 1 = 1 \]

Таким образом, производная функции \( y(x) \) в точке x = 0 равна 1.