Question

В треугольник ABC вписана окружность , касающаяся сторон AB,BC,AC в точках P,Q,K соответственно. Известно, что прямые PQ и AC параллельны. Докажите, что BK - медиана треугольника ABC.

Answer 1

BP=BQ как отрезки касательных, значит треугольник BPQ равнобедренный, т.е. ∠BPQ=∠BQP. Но т.к. PQ||AC, тo ∠BAC=∠BPQ и ∠BQP=∠BCA, т.е. треугольник ABC тоже равнобедренный и BA=BC. Значит PA=BA-BP=BC-BQ=QC. Но PA=AK и QC=CK как отрезки касательных, значит AK=CK, т.е. K - середина AC, что и требовалось.

Answer 2

Задача: Доказать, что BK является медианой треугольника ABC.

Определение медианы треугольника: Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Дано: - Треугольник ABC - Окружность, вписанная в треугольник ABC, касающаяся сторон AB, BC, AC в точках P, Q, K соответственно. - Прямые PQ и AC параллельны.

Доказательство:

Для доказательства, что BK является медианой треугольника ABC, нам нужно показать, что отрезок BK делит сторону AC пополам.

Рассмотрим треугольник ABC:

       A
      / \
     /   \
   P/_____\Q
   /       \
  /_________\
B      K      C

Так как PQ параллельна AC, мы можем использовать свойства параллельных линий, чтобы найти соответствующие углы.

Угол BKP равен углу ABC (так как они соответственные углы при параллельных линиях). Угол BKP также равен углу BCP (так как они соответственные углы при пересечении BC и окружности в точке K).

Таким образом, угол ABC равен углу BCP.

Теперь рассмотрим треугольник ABC и проведем медиану BK:

       A
      / \
     /   \
   P/_____\Q
   /       \
  /_B______K_\
B      K      C

Так как угол ABC равен углу BCP, а угол BAC является общим углом для треугольников ABC и BCK, по теореме об углах треугольника, эти треугольники подобны.

Таким образом, соотношение длины сторон треугольников ABC и BCK будет равно соотношению длин сторон BC и BK:

AC / BC = BC / BK

Мы знаем, что AC делит пополам медиану BK, если соотношение длин сторон BC и BK равно 1:1.

Таким образом, мы доказали, что BK является медианой треугольника ABC.