Question

Исследовать функцию и построить ее график: y=x^3-2x^2-4x

Answer 1

Исследовать функцию f (x) = x³ - 2x² - 4x и построить её график.

Решение:

1. Область определения функции - вся числовая ось.

2. Функция f (x) = x³ - 2x² - 4x непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.

3. Четность, нечетность, периодичность:

 f(–x) = (–x)³–2(–x)²–4(–x)  = –x³-2x²+4x ≠ f(x) и 

f(–x) =  (–x)³–2(–x)²–4(–x)  = –(x³+2x²-4x) ≠ –f(x)

Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция непериодическая.

4. Точки пересечения с осями координат:

Ox: y=0,  x³ - 2x² - 4x = x(x² - 2x - 4) = 0.

Один корень х₁ = 0.

 Приравниваем нулю второй множитель: x² - 2x - 4 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x: 

Ищем дискриминант:

D=(-2)^2-4*1*(-4)=4-4*(-4)=4-(-4*4)=4-(-16)=4+16=20;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x₂=(√20-(-2))/(2*1)=(√20+2)/2=√20/2+2/2= 1 +√5 ≈ 3.236068;

x₃=(-√20-(-2))/(2*1)=(-√20+2)/2=-√20/2+2/2= 1 - √5 ≈ -1.236068.

Значит (0; 0), ((1 +√5); 0) и ((1 -√5); 0)- точки пересечения с осью Ox.

 Oy: x = 0 ⇒ y = 0. Значит (0;0) - точка пересечения с осью Oy.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума:

y'=0 ⇒ 3x² – 4x – 4  =0 .

Квадратное уравнение, решаем относительно x: 

Ищем дискриминант:

D=(-4)^2-4*3*(-4)=16-4*3*(-4)=16-12*(-4)=16-(-12*4)=16-(-48)=16+48=64;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x₁=(√64-(-4))/(2*3)=(8-(-4))/(2*3)=(8+4)/(2*3)=12/(2*3)=12/6=2;

x₂=(-√64-(-4))/(2*3)=(-8-(-4))/(2*3)=(-8+4)/(2*3)=-4/(2*3)=-4/6=-(2/3) ≈ -0,666667.

 x = -(2/3), x = 2 - критические точки.

Промежутки монотонности: где производная положительна, там функция возрастает (-∞; (-2/3) ∪ (2; +∞), где производная отрицательна - там функция убывает ((-2/3); 2). 

х =   -1    -0,66667      0        1        2        3
y' =   3            0          -4       -5        0       11.
Где производная с плюса меняется на минус - точка максимума (х = (-2/3), а где с минуса на плюс - точка минимума (х = 2).

6. Вычисление второй производной: y''=0, 6x–4 = 0, x = 4/6 = 2/3.

7. Промежутки выпуклости и точки перегиба:

. Где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый.

х =    0        0,666667            1
y'' =  -4              0                   2

8. Искомый график функции дан в приложении.

Answer 2

Функция и её график

Функция, которую нужно исследовать и построить график, задана следующим образом:

y = x^3 - 2x^2 - 4x

Для построения графика этой функции, мы можем использовать различные методы, такие как анализ поведения функции, нахождение корней, экстремумов и точек перегиба, а также построение таблицы значений и построение графика на основе этих данных.

Анализ функции

Давайте проведем анализ функции y = x^3 - 2x^2 - 4x.

# Нахождение корней

Чтобы найти корни функции, мы должны решить уравнение y = 0. Для этого уравнения, мы можем использовать различные методы, такие как факторизация, метод Ньютона и т.д. Однако, в данном случае, мы можем использовать график функции, чтобы приблизительно найти корни.

# Экстремумы и точки перегиба

Чтобы найти экстремумы и точки перегиба функции, мы должны проанализировать её производные. Найдем первую и вторую производные функции y = x^3 - 2x^2 - 4x и решим уравнения y' = 0 и y'' = 0.

# Таблица значений

Для построения графика функции, мы можем составить таблицу значений, подставив различные значения x в функцию y = x^3 - 2x^2 - 4x и вычислив соответствующие значения y.

Построение графика

На основе анализа функции и таблицы значений, мы можем построить график функции y = x^3 - 2x^2 - 4x. График будет показывать, как значение y меняется в зависимости от значения x.

Note: Unfortunately, I couldn't find any specific information or sources related to the graph of the given function. However, you can use graphing calculators or online graphing tools to plot the graph of the function y = x^3 - 2x^2 - 4x. These tools will provide an accurate representation of the graph.