Question

Вычислить производную y=x^(arctg(x^(1/2)))^2

Answer 1

Логарифмическое дифференцирование.

Логарифмируем данную функцию.
lny=(arctg(√x))²lnx
Находим производную и слева и справа.
При этом
(lny)`=y`/y - производная сложной функции
(lnx)`=1/x, x независимая переменная и x`=1

y`/y=2arctg(√x)·(arctg(√x))`·lnx+(arctg(√x))²·(lnx)`

y`=y·(2arctg(√x)·(1/(1+(√x)²))·(√x)`·lnx+(arctg(√x))²·(1/x)

y`=x^(arctg(√x))²)·( (lnx·arctg(√x))/(√x+x·√x) +(arctg(√x))²/x

Answer 2

Для того чтобы вычислить производную функции y = x^(arctg(x^(1/2)))^2, воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

Для начала, заметим, что функция y является композицией двух функций:

f(u) = u^2, где u = x^(arctg(x^(1/2)))

и

g(x) = x^(arctg(x^(1/2)))

Для вычисления производной функции y по x, сначала найдем производные функций f(u) и g(x), а затем применим правило дифференцирования сложной функции.

1. Найдем производную функции