Question

Можно ли натуральные числа от 1 до 21 разбить на несколько групп, в каждой из которых наибольшее число равно сумме остальных?

Answer 1

Сумма чисел от 1 до 21 равна (21+1)/2*21=231 - число нечетное, поэтому требуемое разбиение сделать нельзя, так как каждая группа содержит несколько чисел и их сумму, следовательно, сумма всех чисел в каждой группе - число четное.

Answer 2

Я попробую ответить на ваш вопрос.

Можно ли натуральные числа от 1 до 21 включительно разбить на несколько групп так, чтобы в каждой группе одно из чисел равнялось сумме всех остальных чисел?

Ответ: Нет, нельзя.

Объяснение: Предположим, что такое разбиение существует. Тогда рассмотрим сумму всех чисел во всех группах. Она равна:

1 + 2 + ... + 21 = 231.

С другой стороны, в каждой группе одно число равно сумме всех остальных, то есть сумма всех чисел в каждой группе кратна двум. Значит, сумма всех чисел во всех группах тоже должна быть кратна двум. Но 231 не делится на 2, получаем противоречие. Значит, требуемого разбиения не существует.

Эта задача является примером олимпиадной задачи на тему чётности. Вы можете найти другие подобные задачи и их решения на сайте [Педагогическая копилка](https://ped-kopilka.ru/uchiteljam-predmetnikam/matematika/olimpiadnye-zadachi-na-temu-ch-tnost-s-otvetami-5-klas.html) или [Малый мехмат МГУ](http://mmmf.msu.ru/archive/20072008/z6a/16.html).