Question

найдите f '(п/4), если f(x)=ln cos x

Answer 1

 f '(х)=1/cosx * (-sinx)= -tgx

f '(п/4)=-tg п/4= -1

Answer 2

Для нахождения производной функции f(x) = ln(cos(x)) в точке x = π/4, нам понадобится применить правило дифференцирования сложной функции (chain rule).

Шаг 1: Найдем производную внутренней функции

Внутренняя функция в данном случае это cos(x). Для нахождения ее производной, мы можем использовать известную производную функции cos(x), которая равна -sin(x). То есть, f'(x) = -sin(x).

Шаг 2: Найдем производную внешней функции

Внешняя функция в данном случае это ln(u), где u = cos(x). Для нахождения производной ln(u), мы можем использовать правило дифференцирования логарифма, которое гласит, что производная ln(u) равна u'/u, где u' - производная внутренней функции u.

Шаг 3: Применение правила дифференцирования сложной функции

Теперь, когда мы знаем производные внутренней и внешней функций, мы можем применить правило дифференцирования сложной функции. Согласно этому правилу, производная сложной функции f(g(x)) равна произведению производной внешней функции f'(g(x)) на производную внутренней функции g'(x).

Применяя это правило к нашей функции f(x) = ln(cos(x)), мы получаем:

f'(x) = (cos'(x) / cos(x)) * -sin(x)

Шаг 4: Вычисление производной в точке x = π/4

Теперь нам нужно вычислить производную f'(x) в точке x = π/4. Заменяя x на π/4 в полученной формуле, мы получим:

f'(π/4) = (cos'(π/4) / cos(π/4)) * -sin(π/4)

Шаг 5: Вычисление значений

Для вычисления значения производной в точке x = π/4, мы можем использовать известные значения функций cos(π/4) и sin(π/4).

Значение cos(π/4) равно 1/√2, а значение sin(π/4) также равно 1/√2.

Таким образом, мы можем вычислить производную f'(π/4) следующим образом:

f'(π/4) = (cos'(π/4) / cos(π/4)) * -sin(π/4) = (-1 / (1/√2)) * (1/√2) = -√2

Таким образом, производная функции f(x) = ln(cos(x)) в точке x = π/4 равна -√2.