Question

Найти уравнение плоскости которая проходит через точку А(-2;4;-1) перпендикулярно прямой

Answer 1

Прямая перпендикулярна плоскости, значит эта прямая параллельна нормальному вектору плоскости, то есть направляющий вектор S прямой равен нормальному вектору N плоскости

S=N=(-3; 3; 4)

Уравнение плоскости:

А(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, для которой N=(A; B; C) и A(x0; y0 ; z0)

-3(x+2)+3(y-4)+4(z+1)=0
-3x+3y+4z-14=0  |*(-1)
3x-3y-4z+14=0 - это ответ

Answer 2

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через точку А(-2;4;-1) и перпендикулярной прямой, нам понадобится знать векторное уравнение прямой и нормальный вектор плоскости.

Пусть прямая задана векторным уравнением: r = r0 + t*v

где r0 - координаты начальной точки прямой, v - направляющий вектор прямой, t - параметр.

Заметим, что вектор, параллельный прямой, будет направлен вдоль вектора v. То есть, он будет иметь координаты (a, b, c), где a, b, c - соответственно коэффициенты при i, j, k (единичных векторах).

Так как плоскость перпендикулярна прямой, то вектор, нормальный этой плоскости, должен быть перпендикулярен вектору v. Нормальный вектор будет иметь координаты (a, b, c).

Уравнение плоскости имеет вид: ax + by + cz + d = 0

Теперь мы можем найти уравнение плоскости. Подставим координаты точки А(-2;4;-1) в уравнение плоскости: a*(-2) + b*4 + c*(-1) + d = 0

Также, учитывая, что вектор нормали плоскости перпендикулярен вектору прямой, можем записать: a*v1 + b*v2 + c*v3 = 0

где v1, v2, v3 - координаты вектора v.

Теперь у нас есть система из 4 уравнений с 4 неизвестными (a, b, c, d). Решая эту систему, мы найдем уравнение плоскости, проходящей через точку А(-2;4;-1) и перпендикулярной прямой.