Question

Два натуральных числа при делении на 4 дают в остатке соответственно 1 и 3. Докажите, что сумма кубов этих чисел делится на 4.

Answer 1

Если проверить делимость на 4, то это просто a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) сомножитель (a+b) делится на 4 (а +в) - это (4х+1) и ( 4у+3), то ексть в сумме получается выражение 4(х+у+1), а оно на 4 делится. ------------------------- Думаю сойдет!

Answer 2

Давайте обозначим эти два числа через \(a\) и \(b\). Условие задачи говорит нам, что:

\[ \begin{align*} a \equiv 1 \pmod{4} \\ b \equiv 3 \pmod{4} \end{align*} \]

Здесь \(\equiv\) обозначает сравнение по модулю. Это означает, что при делении на 4, числа \(a\) и \(b\) дают остатки 1 и 3 соответственно.

Теперь мы хотим доказать, что сумма кубов этих чисел делится на 4. Сначала запишем кубы этих чисел:

\[ \begin{align*} a^3 &= a \cdot a \cdot a \\ b^3 &= b \cdot b \cdot b \end{align*} \]

Теперь сложим эти кубы:

\[ a^3 + b^3 = a \cdot a \cdot a + b \cdot b \cdot b \]

Теперь давайте рассмотрим остатки при делении каждого из этих слагаемых на 4.

По условию задачи, мы знаем, что:

\[ \begin{align*} a &\equiv 1 \pmod{4} \\ b &\equiv 3 \pmod{4} \end{align*} \]

Теперь подставим эти выражения в сумму кубов:

\[ \begin{align*} a^3 + b^3 &\equiv (1 \cdot 1 \cdot 1) + (3 \cdot 3 \cdot 3) \pmod{4} \\ &\equiv 1 + 27 \pmod{4} \\ &\equiv 28 \pmod{4} \end{align*} \]

Так как \(28\) делится на \(4\), то и сумма кубов этих чисел также делится на \(4\). Таким образом, мы доказали, что сумма кубов двух данных чисел делится на \(4\).