Question

В основании правильной пирамиды лежит квадрат со стороной 10 см и высота 12см. Найти площадь поверхности и объем.

Answer 1

V=S(основания)*h=10*10*12=1200 куб. см.

S(полн)=S(боковая)+2S(основания)=4*10*12+2*10*10=480+200=680 кв.см

Answer 2

Для начала определим площадь основания пирамиды. Основание пирамиды – это квадрат, сторона которого равна 10 см. Площадь квадрата можно найти по формуле \( S_{\text{основания}} = a^2 \), где \(a\) – длина стороны квадрата.

\[ S_{\text{основания}} = 10 \, \text{см} \times 10 \, \text{см} = 100 \, \text{см}^2 \]

Теперь вычислим площадь боковой поверхности пирамиды. Формула для площади боковой поверхности пирамиды зависит от формы фигуры. Для правильной пирамиды с квадратным основанием:

\[ S_{\text{боковой}} = \frac{P_{\text{основания}} \times l_{\text{боковой}}}{2} \]

Где \(P_{\text{основания}}\) – периметр основания, \(l_{\text{боковой}}\) – длина боковой грани пирамиды.

Для квадратной пирамиды периметр основания равен \(P_{\text{основания}} = 4 \times \text{сторона квадрата}\). Также, длина боковой грани может быть найдена с помощью теоремы Пифагора, зная высоту и половину диагонали основания:

Пусть \(h\) – высота пирамиды, \(d\) – диагональ квадрата основания. Тогда:

\[ l_{\text{боковой}} = \sqrt{h^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2} \]

У нас дана высота \(h = 12 \, \text{см}\) и сторона квадрата основания \(a = 10 \, \text{см}\). Диагональ квадрата можно найти, применяя теорему Пифагора:

\[ d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2 \times a^2} = a \times \sqrt{2} = 10 \, \text{см} \times \sqrt{2} = 10\sqrt{2} \, \text{см} \]

Теперь вычислим длину боковой грани:

\[ l_{\text{боковой}} = \sqrt{12^2 + \left(\frac{10\sqrt{2}}{2}\right)^2} \] \[ l_{\text{боковой}} = \sqrt{144 + 50} = \sqrt{194} \, \text{см} \]

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:

\[ S_{\text{боковой}} = \frac{4 \times 10 \, \text{см} \times \sqrt{194} \, \text{см}}{2} \] \[ S_{\text{боковой}} = 20 \times \sqrt{194} \, \text{см}^2 \]

Итак, общая площадь поверхности пирамиды будет равна сумме площади основания и боковой поверхности:

\[ S_{\text{поверхности}} = S_{\text{основания}} + S_{\text{боковой}} \] \[ S_{\text{поверхности}} = 100 \, \text{см}^2 + 20 \times \sqrt{194} \, \text{см}^2 \]

Чтобы найти объем правильной пирамиды, используем формулу:

\[ V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h \] \[ V = \frac{1}{3} \times 100 \, \text{см}^2 \times 12 \, \text{см} \] \[ V = 400 \, \text{см}^3 \]

Таким образом, площадь поверхности правильной пирамиды равна \(100 \, \text{см}^2 + 20 \times \sqrt{194} \, \text{см}^2\), а её объем составляет \(400 \, \text{см}^3\).