Question

В прямоугольном треугольнике АВС длина катета АВ равна 6, а длина катета ВС равна 8. Точка D делит гипотенузу АС пополам. Найти расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольник ABD и в треугольник BCD.

Answer 1

Сделаем рисунок треугольника АВС.
Так как АВ и ВС - катеты, угол В=90°
Найдем гипотенузу АС по т. Пифагора (или просто учтем, что данный треугольник - египетский с отношением сторон 3:4:5).⇒
АС=10
Соединим В и Д. ВД - медиана прямоугольного треугольника и потому равна половине гипотенузы. 
ВД=5
Треугольник ВАД - равнобедренный.
ВD=АD 
Из центра окружности О проведем к точке касания с АС отрезок ОТ, к точке касания с АВ отрезок ОР.
АР=РВ: треугольник равнобедренный и центр окружности О лежит на биссектрисе ДР ( она же высота и медиана)
По свойству отрезков касательных к окружности из одной точки 
 АТ=АР=АВ:2=3
В треугольнике ВDС из центра О1 проведем отрезки к точкам касания О1Н и О1Е
Треугольник ВDС - равнобедренный и центр окружности О1 лежит на биссектрисе DН ( она же высота и медиана)
ВН=НС=ВС:2=4
По свойству отрезков касательных к окружности из одной точки 
НС=ЕС=4
ТЕ=АС-АТ-СЕ=10-3-4=3
По формуле радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности
r=(b:2)*[√(2а-b):(2a+b)] 
найдем радиусы ОТ и ЕО1
ОТ=3/2
ЕО1=4/3
Четырехугольник ОТЕО1 -  прямоугольная трапеция с основаниями ОТ и О1Е и меньшей боковой стороной ТЕ
Расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольник ABD и в треугольник BCD - большая боковая сторона этой трапеции. 
ТЕ=3
ЕО1=4/3
ТМ=3/2
Из О1 опустим высоту О1М. 
Треугольник О1МО - прямоугольный. 
МО=ТО-ЕО1=1/6
По т. Пифагора 
ОО1=√(ОМ²+МО1²)=√(9+1/36)=√(325/36)=(5√13):6

Answer 2

Для решения этой задачи давайте следовать шаг за шагом.

1. Найдем длину гипотенузы треугольника ABC: Используем теорему Пифагора, так как у нас есть прямоугольный треугольник ABC. \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \] \[ AC = \sqrt{6^2 + 8^2} \] \[ AC = \sqrt{36 + 64} \] \[ AC = \sqrt{100} \] \[ AC = 10 \]

2. Точка D делит гипотенузу AC пополам, следовательно AD = DC = AC/2: \[ AD = DC = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

3. Теперь найдем площадь треугольников ABD и BCD: \[ S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \] \[ S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \]

Подставим известные значения: \[ S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15 \] \[ S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20 \]

4. Найдем высоту треугольников ABD и BCD, проведенную из вершины угла B: \[ h_{ABD} = \frac{S_{ABD} \cdot 2}{AB} \] \[ h_{BCD} = \frac{S_{BCD} \cdot 2}{BC} \]

Подставим известные значения: \[ h_{ABD} = \frac{15 \cdot 2}{6} = 5 \] \[ h_{BCD} = \frac{20 \cdot 2}{8} = 5 \]

5. Теперь найдем радиусы вписанных окружностей в треугольники ABD и BCD: \[ r_{ABD} = \frac{S_{ABD}}{p_{ABD}} \] \[ r_{BCD} = \frac{S_{BCD}}{p_{BCD}} \]

где \( p_{ABD} \) и \( p_{BCD} \) - полупериметры треугольников ABD и BCD соответственно: \[ p_{ABD} = \frac{AB + BD + AD}{2} \] \[ p_{BCD} = \frac{BC + CD + BD}{2} \]

Подставим известные значения: \[ p_{ABD} = \frac{6 + 5 + 8}{2} = \frac{19}{2} \] \[ p_{BCD} = \frac{8 + 5 + 6}{2} = \frac{19}{2} \]

Теперь вычислим радиусы: \[ r_{ABD} = \frac{15}{\frac{19}{2}} = \frac{30}{19} \] \[ r_{BCD} = \frac{20}{\frac{19}{2}} = \frac{40}{19} \]

6. Найдем расстояние между центрами вписанных окружностей: \[ \text{Расстояние} = \sqrt{(r_{ABD} + r_{BCD})^2 - (\frac{BC - AB}{2})^2} \] \[ \text{Расстояние} = \sqrt{\left(\frac{30}{19} + \frac{40}{19}\right)^2 - \left(\frac{8 - 6}{2}\right)^2} \] \[ \text{Расстояние} = \sqrt{\left(\frac{70}{19}\right)^2 - 1} \] \[ \text{Расстояние} = \sqrt{\frac{4900}{361} - \frac{361}{361}} \] \[ \text{Расстояние} = \sqrt{\frac{4544}{361}} \] \[ \text{Расстояние} = \frac{4\sqrt{284}}{19} \]

Таким образом, расстояние между центрами вписанных окружностей в треугольнике ABD и треугольнике BCD равно \(\frac{4\sqrt{284}}{19}\).