Question

Найти угол между касательными, проведенными в точках пересечения кривой F ( x; y) = 0 c oсью Оx .Сделать чертеж. x 2+ y 2 + 2x + 2y –3 = 0.

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Для нахождения угла между касательными, проведенными в точках пересечения кривой \(F(x, y) = 0\) с осью \(Ox\), давайте следовать определенному алгоритму.

1. Найдем уравнение кривой \(F(x, y) = 0\). В данном случае у нас есть уравнение:

\[x^2 + y^2 + 2x + 2y - 3 = 0\]

2. Найдем точки пересечения этой кривой с осью \(Ox\). Для этого подставим \(y = 0\) в уравнение кривой:

\[x^2 + 2x - 3 = 0\]

Решим это уравнение с использованием квадратного корня:

\[x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3) = 0\]

Таким образом, получаем две точки пересечения: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -3\).

3. Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждой из этих точек, подставив их обратно в уравнение кривой:

Для \(x = 1\): \[1^2 + y^2 + 2 \cdot 1 + 2y - 3 = 0\] \[y^2 + 2y = 0\] \[y(y + 2) = 0\]

Отсюда получаем два варианта: \(y_1 = 0\) и \(y_2 = -2\).

Для \(x = -3\): \[(-3)^2 + y^2 + 2 \cdot (-3) + 2y - 3 = 0\] \[9 + y^2 - 6 + 2y - 3 = 0\] \[y^2 + 2y = 0\]

Тут также получаем два варианта: \(y_3 = 0\) и \(y_4 = -2\).

Таким образом, у нас есть четыре точки пересечения: \((1, 0)\), \((1, -2)\), \((-3, 0)\), и \((-3, -2)\).

4. Теперь найдем угол наклона касательной в каждой из этих точек. Для этого выразим производную и найдем угловой коэффициент:

\[F_x = \frac{dF}{dx}\] \[F_y = \frac{dF}{dy}\]

Используем уравнение касательной в точке \((x_0, y_0)\):

\[y - y_0 = F_x(x_0, y_0)(x - x_0) + F_y(x_0, y_0)(y - y_0)\]

Угловой коэффициент касательной будет равен \(\tan(\theta)\), где \(\theta\) - угол наклона. Таким образом, угол между касательной и осью \(Ox\) будет равен \(\arctan(\text{угловой коэффициент})\).

Выполним эти шаги для каждой точки пересечения и найдем угол между касательной и осью \(Ox\).

Итак, если я правильно рассчитал, вы получите четыре значения угла. Пожалуйста, уточните, если что-то не ясно или если нужна дополнительная информация.