Question

У четырехугольника диагонали равны a и b . Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника

Answer 1

Стороны четырехугольника средние линии треугольников на которые диагонали разбивают исходный четырехугольник. Легко понять, что искомый периметр равен
a+b

Answer 2

Чтобы найти периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника, нам нужно знать длины диагоналей a и b.

Пусть ABCD - исходный четырехугольник, а E, F, G, H - середины его сторон.

Мы знаем, что диагонали четырехугольника равны a и b. Поэтому мы можем записать следующие уравнения:

AD = BC = a AB = CD = b

Также мы знаем, что середины сторон четырехугольника делят его на четыре треугольника одинаковой формы. Поэтому мы можем сказать, что треугольник ABE подобен треугольнику CDE, а треугольник ABF подобен треугольнику CDF, и так далее.

Используя это знание, мы можем записать следующие соотношения длин сторон:

AE = CF = GH = BD = 1/2 * a BE = DF = EG = AH = 1/2 * b

Теперь мы можем найти периметр нового четырехугольника EFGH, сложив длины его сторон:

Perimeter = AE + EF + FG + GH = 1/2 * a + 1/2 * b + 1/2 * a + 1/2 * b = a + b

Таким образом, периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника, равен сумме длин диагоналей a и b.