Question

Тригонометрия. 1) 2*корень из 2*sin13п/8 *cos12п/8 = 2) Корень из 27*cos^2 *13п/12 -корень из 27*sin^2 *13п/12 = 3) 10cosa-2sina/sina-5cosa+5 = , если tga = 5 4) 3sina+5cosa+1/2sina+cosa+4 = 1/4 ? tga=?

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение поочередно.

1) \(2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sin\left(\frac{13\pi}{8}\right) \cdot \cos\left(\frac{12\pi}{8}\right)\)

Сначала упростим аргументы синуса и косинуса:

\(\frac{13\pi}{8} = \frac{16\pi}{8} - \frac{3\pi}{8} = 2\pi - \frac{3\pi}{8}\)

\(\frac{12\pi}{8} = \frac{3\pi}{2}\)

Теперь подставим:

\(2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sin\left(2\pi - \frac{3\pi}{8}\right) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)\)

Используем тригонометрические тождества:

\(\sin(2\pi - \theta) = -\sin(\theta)\)

\(\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0\)

Таким образом, уравнение упрощается до 0.

2) \(\sqrt{27} \cdot \cos^2\left(\frac{13\pi}{12}\right) - \sqrt{27} \cdot \sin^2\left(\frac{13\pi}{12}\right)\)

Аналогично упростим аргументы:

\(\frac{13\pi}{12} = \frac{39\pi}{36} = \frac{13\pi}{12} - \pi = \frac{\pi}{12}\)

Теперь подставим:

\(\sqrt{27} \cdot \cos^2\left(\frac{\pi}{12}\right) - \sqrt{27} \cdot \sin^2\left(\frac{\pi}{12}\right)\)

Используем тригонометрические тождества:

\(\cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta)\)

\(\sqrt{27} \cdot (1 - \sin^2(\pi/12)) - \sqrt{27} \cdot \sin^2(\pi/12)\)

\(\sqrt{27} - \sqrt{27} \cdot \sin^2(\pi/12) - \sqrt{27} \cdot \sin^2(\pi/12)\)

\(\sqrt{27} - 2 \cdot \sqrt{27} \cdot \sin^2(\pi/12)\)

Теперь мы можем выразить \(\sin(\pi/12)\) через \(\cos(\pi/12)\), используя тождество \(\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1\):

\(\sin(\pi/12) = \sqrt{1 - \cos^2(\pi/12)}\)

Таким образом, уравнение можно переписать:

\(\sqrt{27} - 2 \cdot \sqrt{27} \cdot (1 - \cos^2(\pi/12)) = \sqrt{27} - 2 \cdot \sqrt{27} + 2 \cdot \sqrt{27} \cdot \cos^2(\pi/12)\)

\(2 \cdot \sqrt{27} \cdot \cos^2(\pi/12) - \sqrt{27} = \sqrt{27} \cdot (2 \cdot \cos^2(\pi/12) - 1)\)

3) \(\frac{10\cos(a) - 2\sin(a)}{\sin(a) - 5\cos(a) + 5}\), если \(\tan(a) = 5\)

Перепишем \(\tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)} = 5\):

\(\sin(a) = 5\cos(a)\)

Теперь подставим это в уравнение:

\(\frac{10\cos(a) - 2(5\cos(a))}{5\cos(a) - 5\cos(a) + 5}\)

\(\frac{10\cos(a) - 10\cos(a)}{5}\)

\(\frac{-10\cos(a)}{5}\)

\(-2\cos(a)\)

4) \(\frac{3\sin(a) + 5\cos(a) + 1}{2\sin(a) + \cos(a) + 4} = \frac{1}{4}\), если \(\tan(a) = ?\)

Сначала упростим числитель и знаменатель:

Числитель: \(3\sin(a) + 5\cos(a) + 1\)

Знаменатель: \(2\sin(a) + \cos(a) + 4\)

Теперь подставим уравнение \(\tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}\):

\(\frac{3\tan(a) + 5 + \tan(a)}{2\tan(a) + 1 + 4}\)

\(\frac{4\tan(a) + 6}{2\tan(a) + 5}\)

Теперь уравнение:

\(\frac{4\tan(a) + 6}{2\tan(a) + 5} = \frac{1}{4}\)

Умножим обе стороны на 4:

\(\frac{16\tan(a) + 24}{2\tan(a) + 5} = 1\)

Умножим обе стороны на \((2\tan(a) + 5)\):

\(16\tan(a) + 24 = 2\tan(a) + 5\)

Переносим все термины на одну сторону:

\(16\tan(a) - 2\tan(a) = 5 - 24\)

\(14\tan(a) = -19\)

\(\tan(a) = -\frac{19}{14}\)