Question

(sin10° + sin80°)(cos80° - cos10°)\ sin70°sin70°- делится на все 2 скобки. Помогите решить подробно,пожалуйста.

Answer 1

$\frac{ ( \sin{10^o} + \sin{80^o} ) ( \cos{80^o} - \cos{10^o} ) }{ \sin{ 70^o } } = \frac{ ( \sin{ ( 90^o - 80^o ) } + \sin{80^o} ) ( \cos{80^o} - \cos{ ( 90^o - 80^o ) } ) }{ \sin{ 70^o } } = \\\\ = \frac{ ( \cos{80^o} + \sin{80^o} ) ( \cos{80^o} - \sin{80^o} ) }{ \sin{ 70^o } } = \frac{ \cos^2{80^o} - \sin^2{80^o} }{ \sin{ 70^o } } = \frac{ \cos{ ( 2 \cdot 80^o ) } }{ \cos{ 20^o } } = \\\\ = \frac{ \cos{ 160^o } }{ \cos{ 20^o } } = \frac{ \cos{ ( 180^o - 20^o ) } }{ \cos{ 20^o } } = \frac{ - \cos{ 20^o } }{ \cos{ 20^o } } = -1 \ .$

Answer 2

Давайте рассмотрим данное выражение более подробно:

\[ \begin{align*} &(\sin 10^\circ + \sin 80^\circ)(\cos 80^\circ + \cos 10^\circ) + \sin 70^\circ \sin 70^\circ \end{align*} \]

Для упрощения используем тригонометрические тождества.

1. Сумма синусов: \[ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) \]

2. Разность косинусов: \[ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) \]

Применим эти тождества:

\[ \begin{align*} &(\sin 10^\circ + \sin 80^\circ)(\cos 80^\circ + \cos 10^\circ) + \sin 70^\circ \sin 70^\circ \\ &= 2 \sin \left( \frac{10^\circ + 80^\circ}{2} \right) \cos \left( \frac{80^\circ - 10^\circ}{2} \right) \cdot (-2 \sin \left( \frac{80^\circ + 10^\circ}{2} \right) \sin \left( \frac{80^\circ - 10^\circ}{2} \right)) + \sin 70^\circ \sin 70^\circ \\ &= -4 \sin 45^\circ \sin 35^\circ \cos 35^\circ + \sin^2 70^\circ \end{align*} \]

Теперь у нас есть упрощенное выражение. Если требуется дополнительное упрощение или какие-то конкретные значения, дайте мне знать.