Question

Решите уравнение:cos(4x)-6cos^2x+5=0

Answer 1

2cos²2x-1-6cos²2x+5=0
4-4cos²2x=0(1-cos²2x)=0
(1-cos2x)(1+cos2x)=0
1-cos2x=0
cos2x=1
2x=2πn
x=πn
1+cos2x=0
cos2x=-1
2x=π+2πn
x=π/2+πn

Answer 2

Решение уравнения cos(4x) - 6cos^2(x) + 5 = 0

Для решения данного уравнения нам понадобится использовать тригонометрические тождества и метод замены переменной.

1. Замена переменной Давайте введем замену переменной для упрощения уравнения: Пусть \( u = cos(x) \), тогда уравнение примет вид: \( cos(4x) - 6u^2 + 5 = 0 \)

2. Преобразование квадратичного уравнения Теперь у нас получилось квадратичное уравнение относительно переменной \( u \): \( -6u^2 + cos(4x) + 5 = 0 \)

3. Использование тригонометрических тождеств Мы можем воспользоваться тригонометрическим тождеством для \( cos(4x) \): \( cos(4x) = 2cos^2(2x) - 1 \)

4. Подстановка тождества в уравнение Подставим \( cos(4x) = 2cos^2(2x) - 1 \) в уравнение: \( -6u^2 + 2cos^2(2x) - 1 + 5 = 0 \) \( 2cos^2(2x) - 6u^2 + 4 = 0 \)

5. Решение квадратного уравнения Теперь мы получили квадратное уравнение относительно \( cos(2x) \): \( 2cos^2(2x) - 6u^2 + 4 = 0 \)

6. Нахождение корней Решим это квадратное уравнение, используя стандартную формулу для решения квадратных уравнений.

Итак, мы можем решить уравнение \( 2cos^2(2x) - 6u^2 + 4 = 0 \), затем найти обратную замену для \( u \) и, наконец, получить решение исходного уравнения \( cos(4x) - 6cos^2(x) + 5 = 0 \).