Question

Решить уравнение 3ydx=8xdy

Answer 1

$\frac{dy}{3y} = \frac{dx}{8x}$
$\frac{8}{3} \int\limits {\frac{dy}{y}} \, dy= \int\limits {\frac{dx}{x}} \, dx;$
$\frac{8}{3} ln|y(x)| + \frac{8}{3}lnC= ln|x|$
$\frac{8}{3} ln[C*|y(x)|] = ln|x|$
$ln[C^ \frac{8}{3} *(|y(x)|) ^ \frac{8}{3} ] = ln|x|$
$ln[A *(|y(x)|) ^ \frac{8}{3} ] = ln|x|$
$A *(|y(x)|) ^ \frac{8}{3} = |x|$
$|x(y)|=A *y ^ \frac{8}{3}$

Где А - константа интегрирования, самые первые действия делались при условии, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$

Отдельным рассмотрением исходного уравнения видно, что если $x=0$, то и $y=0$, и наоборот. Т.е. получилось, что эти решения присоединяются к решению  $|x(y)|=A *y ^ \frac{8}{3}$.

Ответ: $|x(y)|=A *y ^ \frac{8}{3}$

Answer 2

Для решения уравнения 3ydx=8xdy, нужно сначала разделить обе части на xy, получая

$$\frac{3y}{x}dx=\frac{8x}{x}dy$$

Затем нужно проинтегрировать обе части, используя формулу

$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|+C$$

где C - произвольная константа. Получаем

$$\int \frac{3y}{x}dx=\int \frac{8x}{x}dy$$

$$\ln|y^3|+C_1=8\ln|x|+C_2$$

где $C_1$ и $C_2$ - произвольные константы. Сокращая логарифмы, получаем

$$y^3=C_3x^8$$

где $C_3=e^{C_2-C_1}$ - произвольная константа. Это и есть общее решение уравнения. Вы можете проверить его, подставив в исходное уравнение и убедившись, что оно выполняется.

Если вы хотите найти частное решение, то вам нужно задать начальное условие, например, $y(1)=2$. Тогда вы можете найти значение константы $C_3$, решив уравнение

$$2^3=C_3\cdot 1^8$$

$$C_3=8$$

Тогда частное решение будет иметь вид

$$y^3=8x^8$$

или, извлекая кубический корень,

$$y=2x^{8/3}$$

Надеюсь, это помогло вам понять, как решать такие уравнения. Если вы хотите узнать больше о дифференциальных уравнениях, вы можете посетить эти сайты:

- [Алгебраический калькулятор | Microsoft Math Solver](https://mathsolver.microsoft.com/ru/algebra-calculator) - [Калькулятор Уравнений - Symbolab](https://ru.symbolab.com/solver/equation-calculator) - [Решить уравнение 3ydx=8xdy - ответ на Uchi.ru](https://uchi.ru/otvety/questions/reshit-uravnenie-3ydx-8xdy)