Question

Найдите точку максимума функции у=x^3-24x^2+15

Answer 1

Y=x³-24x²+15
y`=(x³-24x²+15)`=0
3x²-48x=0   |÷3
x²-16x=0
x(x-16)=0
x₁=0    x₂=16
y(0)=0³-24*0²+15=15=ymax
y(16)=16³-24*16²+15=4096-6144+15=-2033.
Ответ: уmax=15.

Answer 2

Для нахождения точки максимума функции, нам нужно найти критические точки, то есть точки, где производная функции равна нулю или не существует. Затем мы проверим, являются ли эти точки максимумами или минимумами, используя вторую производную.

Для данной функции f(x) = x^3 - 24x^2 + 15, начнем с нахождения первой производной f'(x):

f'(x) = 3x^2 - 48x

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение:

3x^2 - 48x = 0

Мы можем разделить это уравнение на 3:

x^2 - 16x = 0

Факторизуем это уравнение:

x(x - 16) = 0

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 0 и x = 16.

Теперь, чтобы определить, являются ли эти точки максимумами или минимумами, нам нужно использовать вторую производную f''(x). Вычислим ее:

f''(x) = 6x - 48

Подставим каждую критическую точку во вторую производную и проанализируем результаты:

Для x = 0: f''(0) = 6(0) - 48 = -48

Для x = 16: f''(16) = 6(16) - 48 = 96 - 48 = 48

Если f''(x) > 0, то это означает, что функция выпукла вверх и критическая точка является минимумом. Если f''(x) < 0, то функция выпукла вниз и критическая точка является максимумом.

В нашем случае, f''(0) < 0, поэтому точка x = 0 является точкой максимума, а f''(16) > 0, поэтому точка x = 16 является точкой минимума.

Таким образом, точка максимума функции f(x) = x^3 - 24x^2 + 15 находится в x = 0.