Question

У бригаді 7 робітникі. Їх спільний вік 322 роки. Довести, що з них можна вибрати трьох людей так, щоб Їх спільний вік був не менше 138 років.

Answer 1

Определим средний возраст работника бригады:
322:7=46 лет

Т.к. средний возраст работников бригады 46 лет, то возможны следующие варианты:
а) всем работникам бригады по 46 лет
б) есть работники моложе 46 лет, есть, соответственно, работники старше 46 лет

138:3=46 лет - соответствует среднему возрасту работников бригады

Соответственно, если п.(а), то возраст работников одинаковый и 3*46=138 - не меньше 138, если п.(б), то есть как работники моложе 46 лет, так и работники старше 46 лет, соответственно условие суммарного возраста трех работников не менее 138 лет также выполнимо

Answer 2

Для доведення того, що з семи робітників можна вибрати трьох людей так, щоб їх спільний вік був не менше 138 років, скористаємося принципом Дирихле.

Візьмемо всі можливі комбінації трьох робітників з семи і порахуємо їх спільний вік.

У нашому випадку, кількість можливих комбінацій трьох робітників з семи можна обчислити за допомогою формули C(7,3), де C - це число поєднань.

C(7,3) = 7! / (3! * (7-3)!) = (7 * 6 * 5) / (3 * 2 * 1) = 35.

Отже, є 35 можливих комбінацій трьох робітників з семи.

Тепер розглянемо суму спільного віку для кожної комбінації трьох робітників. За умовою, спільний вік семи робітників становить 322 роки.

Нехай S буде сумою спільного віку трьох робітників для кожної комбінації. За допомогою принципу Дирихле, ми хочемо знайти таку комбінацію, де S ≥ 138.

Припустимо, що немає жодної комбінації, де S ≥ 138. Тоді найбільша можлива сума спільного віку трьох робітників буде менше 138.

Отже, максимальна сума спільного віку трьох робітників становить 137 (137 < 138).

Але це суперечить умові, що спільний вік семи робітників становить 322 роки.

Таким чином, наше припущення щодо відсутності комбінації, де S ≥ 138, є неправильним.

Отже, з семи робітників завжди можна вибрати трьох так, щоб їх спільний вік був не менше 138 років.