Question

Решите уравнение (x^2-9)^2+(x^2-2x-15)^2=0

Answer 1

{x=4-i, x=i+4, x=-3}

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы должны найти значения x, при которых выражение (x^2-9)^2 + (x^2-2x-15)^2 равно нулю.

Раскроем квадраты в обоих скобках:

(x^2-9)^2 = (x^2-9)(x^2-9) = x^4 - 18x^2 + 81

(x^2-2x-15)^2 = (x^2-2x-15)(x^2-2x-15) = x^4 - 4x^3 - 29x^2 + 60x + 225

Подставим эти значения обратно в уравнение:

(x^4 - 18x^2 + 81) + (x^4 - 4x^3 - 29x^2 + 60x + 225) = 0

Сгруппируем по степеням x:

2x^4 - 4x^3 - 47x^2 + 60x + 306 = 0

Для решения этого уравнения, мы можем использовать различные методы, такие как графический метод, метод подстановки, метод факторизации или метод численного анализа.

Один из способов решения - использовать метод факторизации. Мы можем заметить, что уравнение имеет коэффициент 2 перед x^4, поэтому мы можем разделить все коэффициенты на 2:

x^4 - 2x^3 - 23.5x^2 + 30x + 153 = 0

Теперь мы можем попытаться найти рациональные корни этого уравнения, используя метод подстановки или метод синтетического деления. Если мы найдем рациональный корень, мы можем разделить уравнение на (x - a), где a - найденный корень, и продолжить факторизацию.

Однако, после применения метода подстановки или синтетического деления, мы обнаружим, что уравнение не имеет рациональных корней. Это означает, что уравнение не факторизуется на множители над полем рациональных чисел.

Таким образом, мы можем заключить, что данное уравнение не имеет рациональных корней и не может быть решено аналитически. Однако, мы можем использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод половинного деления, чтобы найти приближенные значения x, при которых уравнение равно нулю.