Question

Знайти площу прямокутного трикутника, в якому бісектриса прямого кута ділить гіпотенузу на відрізки 4 см і 8 см.

Answer 1

Гіпотенуза дорівнює c=4+8=12 см

По властивості бісектриси трикутника
a:b=4:8=1:2

Нехай а=х см, тоді b=2x см.
За теоремою Піфагора
$a^2+b^2=c^2$
$x^2+(2x)^2=12^2$
$x^2+4x^2=144$
$5x^2=144$
$x^2=\frac{144}{5}$
$x=\frac{12}{\sqrt{5}}$
$a=\frac{12}{\sqrt{5}}$
$b=2*\frac{12}{\sqrt{5}}=\frac{24}{\sqrt{5}}$
Площа прямокутного трикутника дорівнює
$S=\frac{1}{2}*ab$
$S=\frac{1}{2}*\frac{12}{\sqrt{5}}*\frac{24}{\sqrt{5}}=\frac{144}{5}=28.8$ кв.см
відповідь: 28.8 кв.см

Answer 2

Для розв'язання задачі нам знадобиться використати теорему Піфагора та властивості бісектриси прямого кута.

Згідно з умовою задачі, бісектриса прямого кута ділить гіпотенузу на відрізки 4 см і 8 см. Позначимо ці відрізки як x та y.

Застосуємо властивості бісектриси прямого кута: за теоремою про бісектрису в прямокутному трикутнику, відрізок, який утворюється на гіпотенузі бісектрисою, ділить гіпотенузу на дві частини, пропорційні до катетів прямокутного трикутника. Тобто, ми маємо таку пропорцію:

x/y = гіпотенуза/катет

Замість гіпотенузи використовуємо теорему Піфагора:

x/y = √(гіпотенуза^2 - катет^2)/катет

Підставляємо відомі значення:

x/8 = √(гіпотенуза^2 - 4^2)/4

Позначимо гіпотенузу як h. Тоді отримаємо таке рівняння:

x/8 = √(h^2 - 4^2)/4

Можемо переписати його у вигляді:

x/8 = √(h^2 - 16)/4

Піднесемо обидві