Question

Дискретная математика Доказать, что (A∪ B)\B = A\B.

Answer 1

(A∪B)\B = A\B
Раскроем скобки: A\B ∪ B\B = A\B
B\B = ∅, а A\B ∪ ∅ = A\B, значит:
A\B = A\B

Answer 2

Для доказательства равенства (A∪B)\B = A\B, необходимо показать, что оба множества содержат одни и те же элементы.

Вначале рассмотрим левую часть равенства, (A∪B)\B. Операция объединения множеств (A∪B) означает, что в результате объединения вместе будут все элементы из множества A и множества B. Затем операция разности множеств \B означает, что из объединенного множества мы исключаем все элементы, которые принадлежат множеству B.

Теперь рассмотрим правую часть равенства, A\B. Здесь операция разности множеств означает, что мы исключаем из множества A все элементы, которые принадлежат множеству B.

Таким образом, чтобы доказать равенство (A∪B)\B = A\B, необходимо показать, что все элементы, которые исключаются из объединенного множества (A∪B) при операции \B, являются элементами множества B, и наоборот, все элементы, которые исключаются из множества A при операции \B, также являются элементами множества B.

Для этого предположим, что есть элемент x, который принадлежит множеству (A∪B)\B. Это означает, что x принадлежит объединенному множеству (A∪B), но не принадлежит множеству B. Поскольку x принадлежит объединенному множеству (A∪B), это означает, что x принадлежит множеству A или множеству B. Но так как x не принадлежит множеству B, то x обязательно принадлежит множеству A. Таким образом, мы получаем, что x принадлежит множеству A\B.

Теперь предположим, что есть элемент y, который принадлежит множеству A\B. Это означает, что y принадлежит множеству A, но не принадлежит множеству B. Поскольку y принадлежит множеству A, это означает, что y принадлежит объединенному множеству (A∪B). И так как y не принадлежит множеству B, то y также принадлежит (A∪B)\B.

Таким образом, мы показали, что каждый элемент, который исключается из объединенного множества (A∪B) при операции \B, также является элементом множества A\B, и каждый элемент, который исключается из множества A при операции \B, также является элементом множества (A∪B)\B. Следовательно, (A∪B)\B = A\B.