Question

ОТДАЮ ВСЕ, ЧТО ЕСТЬ!!!!! Докажите, что число а в степени 2k и все это минус 1 делится на (а в степени 2) - 1

Answer 1

Известна формула для разности натуральных степеней двух чисел:
x^n - y^n = (x - y)(x^(n-1) + x^(n-2) * y + x^(n-3) * y^2 + .... + x * y^(n-2) + y^(n-1))
Из нее следует, что a^(2k) - 1 разлагается на множители:
 a^(2k) - 1 = (a^2)^k - 1 = (a^2 -1)((a^2)^(k-1) + (a^2)^(k-2) + .... + (a^2)^ + 1).
Отсюда следует, что a^(2k) - 1 делится на a^2 - 1.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Пусть утверждение верно для некоторого k, то есть a^(2k) - 1 делится на a^2 - 1. Необходимо доказать, что утверждение также верно для k + 1, то есть a^(2(k+1)) - 1 также делится на a^2 - 1.

Разложим a^(2(k+1)) - 1 по формуле разности квадратов: a^(2(k+1)) - 1 = (a^(2k) + 1)(a^(2) - 1)

По предположению индукции, a^(2k) - 1 делится на a^2 - 1, поэтому можем записать: a^(2k) - 1 = m(a^2 - 1), где m - некоторое целое число.

Подставляем это выражение в разложение: (a^(2k) + 1)(a^(2) - 1) = (m(a^2 - 1) + 1)(a^(2) - 1) = ma^(2) - m + a^(2) - 1 = (m + 1)a^(2) - (m + 1)

Таким образом, мы получили выражение вида (m + 1)a^(2) - (m + 1), которое также делится на a^2 - 1.

Таким образом, утверждение доказано по индукции: для любого натурального числа k, a^(2k) - 1 делится на a^2 - 1.

Это значит, что если a^(2k) - 1 делится на a^2 - 1, то и a^(2(k+1)) - 1 также будет делиться на a^2 - 1.