Question

На прямой х = -5 найти точку, одинаково удаленную от «левого» фокуса и от «верхней» вершины эллипса Х2 + 5Y2 = 20

Answer 1

Точка (-5;7).
Левый фокус находится в точке (-4;0) верхняя вершина находится в точке (0;2), обозначьте неизвестную точку (-5;у) и приравнивайте расстояния до (0;2) и (-4;0)
(-5-0)^2+(у-2)^2=(-5+4)^2+(у-0)^2

Answer 2

Для начала определим уравнение эллипса в стандартной форме, чтобы найти его фокусы и вершины:

Уравнение эллипса в стандартной форме имеет вид: \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)

Данное уравнение \(X^2 + 5Y^2 = 20\) можно привести к стандартной форме, разделив обе стороны на 20: \(\frac{X^2}{20/1} + \frac{Y^2}{20/5} = 1\)

Отсюда получаем \(a^2 = 20\), \(b^2 = 4\), тогда \(a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\) и \(b = \sqrt{4} = 2\).

Теперь найдем фокусы эллипса. Для этого воспользуемся формулой для расчета фокусов эллипса: \(c = \sqrt{a^2 - b^2}\)

Где \(c\) – расстояние от центра эллипса до фокусов. Подставляя значения \(a\) и \(b\), получаем: \(c = \sqrt{20 - 4} = \sqrt{16} = 4\)

Фокусы будут находиться на главной оси, поэтому для данного эллипса фокусы будут находиться в точках \((\pm 4, 0)\).

Теперь найдем вершины эллипса. Для этого можно воспользоваться следующей формулой: \(ae\), где \(e\) – эксцентриситет эллипса, который равен \(\frac{c}{a}\) для эллипса.

Подставив значения \(c\) и \(a\), получаем: \(e = \frac{c}{a} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\)

Теперь найдем вершины, используя следующие формулы: \((\pm a, 0)\) и \((0, \pm b)\)

Таким образом, вершины будут находиться в точках: \((2\sqrt{5}, 0), (-2\sqrt{5}, 0), (0, 2)\) и \((0, -2)\).

Теперь, чтобы найти точку, одинаково удаленную от левого фокуса и верхней вершины, мы можем использовать свойство эллипса: сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов равна длине большой оси. Таким образом, мы можем найти точку, удовлетворяющую этому условию.

Давайте рассчитаем эту точку.