Question

1) З двох міст, відстань між якими 1100 км, вирушають назустріч один одному два потяги і зустрічаються на середині дороги. Яка швидкість кожного потяга, якщо перший виїхав на 1 год пізніше від другого і з швидкістю на 5 км/год більшою, ніж швидкість другого потяга?2.Два трактори, працюючи разом, можуть зорати поле за 4 год 48 хв. Скільки годин потрібно кожному трактору, щоб зорати все поле, якщо для цього першому трактору треба на 4 год менше, ніж другому?3.Катер, швидкість якого в стоячій воді дорівнює 27 км/год, пройшов 45 км за течією і 36 км проти течії річки, втративши на весь шлях 3 год. Знайдіть швидкість течії річки.

Answer 1

1. х- скорость второго поезда
(х+5) скорость первого поезда
110/2=550 км - середина дороги
550/х ч - время второго поезда
550/(х+5) ч - время первого поезда
550/х- 550/(х+5)=1
550(х+5-х)=х(х+5)
х²+5х-2750=0
D=5²-4*(-2750)=11025=105²
х=(-5+105)/2=50 км/ч скорость второго поезда
50+5=55 км/ч скорость первого поезда

2. 4ч 48 мин= 4,8ч
х часов требуется первому трактористу для вспашки поля,
(х+4) часов второму требуется для этой работы .
Все поле примем за 1.
За 1 час работы первый вспахивает 1/х поля, второй - 1/(х+4) поля,
а при совместной работе они вспахивают за 1 час 1/х+1/(х+4) или 1/4,8=5/24 поля. Составим и решим уравнение:
1/х+1/(х+4)=5/24
24(х+4+х)=5х(х+4)
5х²-28х-96=0
D=(-28)²-4*5*(-96)=2704=52²
х=(28+52)/10=8 часов требуется первому
8+4=12 часов требуется второму

3.  х км/ч - скорость течения реки
(27+х) км/ч - скорость по течению реки
45/(27+х) ч - время по течению реки
(27-х) км/ч - скорость против течения реки
36/(27-х) ч - время против течения реки
45/(27+х) +36/(27-х)=3
15(27-х)+12(27+х)=(27-х)(27+х)
405-15х+324+12х=729-х²
х²-3х=0
х(х-3)=0
х1=0 (не может быть),
 х2=3 км/ч скорость течения

Answer 2

1) Щоб відповісти на це питання, спочатку знайдемо швидкість першого потяга. Позначимо швидкість другого потяга як х км/год. За час, який проїхав другий потяг, перший потяг проїхав на 5 км/год менше. Тому швидкість першого потяга буде (х - 5) км/год.

Також ми знаємо, що перший потяг виїхав на 1 год пізніше від другого. Тому час, який проїхав другий потяг, буде на 1 год більший, ніж час, який проїхав перший потяг.

Використовуючи формулу швидкість = відстань / час, ми можемо скласти рівняння:

1100 / (х - 5) = 1100 / х + 1

Розв'яжемо це рівняння:

1100х = 1100(х - 5) + 1100 1100х = 1100х - 5500 + 1100 0 = -5500 + 1100 5500 = 1100 х = 5500 / 1100 х = 5

Таким чином, швидкість другого потяга дорівнює 5 км/год, а швидкість першого потяга дорівнює (5 - 5) = 0 км/год.

2) Щоб зорати поле за 4 год 48 хв, двом тракторам потрібно працювати разом. Позначимо час, який потрібен першому трактору, як х годин, а час, який потрібен другому трактору, як у годин.

За умовою задачі, першому трактору потрібно на 4 години менше, ніж другому. Тому ми можемо записати рівняння:

х = у - 4

Також ми знаємо, що разом двом тракторам потрібно 4 години 48 хв, а це дорівнює 4.8 годинам. Тому ми можемо записати друге рівняння:

1/х + 1/у = 1/4.8

Розв'яжемо цю систему рівнянь:

Замінимо х у перше рівняння:

1/(у - 4) + 1/у = 1/4.8

Знайдемо спільний знаменник:

(у + (у - 4)) / ((у - 4) * у) = 1/4.8

(2у - 4) / (у^2 - 4у) = 1/4.8

Перемножимо обидві сторони на 4.8(у^2 - 4у):

4.8(2у - 4) = у^2 - 4у

9.6у - 19.2 = у^2 - 4у

у^2 - 13.6у + 19.2 = 0

Знайдемо корені цього квадратного рівняння:

у = (13.6 ± √(13.6^2 - 4 * 19.2)) / 2

у ≈ 13.6 ± √(184.96 - 76.8) / 2

у ≈ 13.6 ± √108.16 / 2

у ≈ 13.6 ± 10.4 / 2

у ≈ 12 / 2 або у ≈ 24 / 2

у ≈ 6 або у ≈ 12

Таким чином, час, який потрібен першому трактору, дорівнює 6 годин, а час, який потрібен другому трактору, дорівнює 12 годин.

3) Щоб знайти швидкість течії річки, спочатку знайдемо швидкість катера в стоячій воді. За умовою задачі, катер пройшов 45 км за течією і 36 км проти течії. Загальний час подорожі складає 3 години.

Використовуючи формулу швидкість = відстань / час, ми можемо скласти два рівняння:

45 / (27 + x) = 36 / (27 - x) 45(27 - x) = 36(27 + x)

Розв'яжемо цю систему рівнянь:

1215 - 45x = 972 + 36x 81x = 243 x = 243 / 81 x = 3

Таким чином, швидкість течії річки дорівнює 3 км/год.