Question

Сумма двух целых чисел равна S. Маша умножила левое число на целое число α, правое - на целое число β, сложила эти произведения и обнаружила, что полученная сумма делится на S. Алеша, наоборот, левое число умножил на β, а правое - на α. Докажите, что и у него аналогичная сумма разделится на S.

Answer 1

S-A-C/6%7-5% вот и все лол

Answer 2

Пусть левое число равно x, а правое число равно y.

Согласно условию, сумма двух целых чисел равна S, то есть x + y = S.

Маша умножила левое число на целое число α, а правое число на целое число β, и сложила эти произведения. Полученная сумма делится на S, то есть αx + βy кратно S.

Алеша же умножил левое число на β, а правое число на α. Полученная сумма равна βx + αy.

Докажем, что βx + αy также делится на S.

Рассмотрим разность между суммой αx + βy и βx + αy:

(αx + βy) - (βx + αy) = (α - β)x + (β - α)y = (α - β)(x - y).

Так как x + y = S, то x - y = S - 2y.

Тогда (α - β)(x - y) = (α - β)(S - 2y).

Заметим, что (α - β)(S - 2y) = (α - β)S - 2(α - β)y = (α - β)S - 2αy + 2βy.

Так как αx + βy кратно S, то (α - β)S - 2αy + 2βy кратно S.

Получаем, что βx + αy = (α - β)S - 2αy + 2βy + αy = (α - β)S + (2β - 2α + 1)y.

Так как (α - β)S и (2β - 2α + 1)y кратны S, то их сумма тоже будет кратна S.

Таким образом, и у Алеши аналогичная сумма разделится на S.

Таким образом, мы доказали, что если сумма двух целых чисел делится на S, то их аналогичная сумма тоже делится на S.