Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями(при помощи определённого интеграла)y=x^2-6, y=-x^2+5*x-6

Answer 1

Вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями: y₁=x+2 , y₂=2x - (x^2/2) + 6

или y = -0,5х² + 2x + 6 и y=x+2

для выявления пределов интегрирования найдём точки пересечения графиков этих двух функций, приравняв их правые части

-0,5х² + 2x + 6 = x + 2

-0,5х² + x + 4 = 0

или

-х² + 2х + 8 = 0

D = 4 + 32 = 36

√D = 6

x₁ = (-2 + 6):(-2) = -2

x₂ = (-2 - 6):(-2) = 4

Итак, интегрируем в пределах: -2 и 4.

Теперь надо решить, какая из функций проходит выше другой

найдём вершину параболы f(x) = -0.5х² + 2х + 6

m = -2:(-1)  = 2;   n = -2+ 4 + 6 = 8

в точке х = 2 прямая y=x+2 имеет у =4, а кривая y = -0.5х² + 2х + 6 имеет у = 8

в точке x₁ = -2  и в точке x₂ = 4 значения обеих функций совпадают.

Очевидно, что парабола в интервале от -2 до 4 проходит выше.

Находим интеграл

∫(у₂ - у₁)dx = ∫(-0.5х² + 2х + 6 - (x+2))dx =

= ∫(-0.5х² + х + 4)dx =

= -х³/6 + х²/2 + 4x

Подставим пределы и вычислим площадь

S = 8/6 + 4/2 - 4·2 - (-64/6 + 16/2 + 4·4) =

= 4/3 + 2 - 8 + 32/3 - 8 + 16 = 14

Ответ: S = 14

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, можно использовать определенный интеграл. В данном случае, фигура ограничена двумя кривыми: y = x^2 - 6 и y = -x^2 + 5x - 6. Для вычисления площади этой фигуры, мы должны найти точки пересечения двух кривых.

Нахождение точек пересечения

Для начала, найдем точки пересечения двух кривых, то есть значения x, при которых y для обеих кривых равны. Для этого приравняем уравнения и решим полученное квадратное уравнение:

x^2 - 6 = -x^2 + 5x - 6

Перенесем все члены в одну сторону:

2x^2 - 5x = 0

Разложим это уравнение на множители:

x(2x - 5) = 0

Таким образом, получаем два решения:

x = 0 и x = 5/2 = 2.5

Вычисление площади

Теперь, когда мы знаем точки пересечения двух кривых, мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, с использованием определенного интеграла.

Для вычисления площади, мы должны интегрировать разность между верхней и нижней кривыми по оси x в пределах от x = 0 до x = 2.5.

Поскольку кривая y = x^2 - 6 находится над кривой y = -x^2 + 5x - 6 в указанном интервале, мы можем записать площадь фигуры как:

S = ∫[0, 2.5] [(x^2 - 6) - (-x^2 + 5x - 6)] dx

Выполняя интегрирование, получим:

S = ∫[0, 2.5] (2x^2 - 5x) dx

S = [2/3 * x^3 - 5/2 * x^2] [0, 2.5]

S = (2/3 * (2.5)^3 - 5/2 * (2.5)^2) - (2/3 * 0^3 - 5/2 * 0^2)

S = (2/3 * 15.625 - 5/2 * 6.25) - (0)

S = 10.4167 - 15.625

S = -5.2083

Ответ

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 - 6 и y = -x^2 + 5x - 6 в пределах от x = 0 до x = 2.5, равна -5.2083.