Question

Найдите шестой десятый члены геометрической прогрессии если их сумма равна 16, а про зведение четырнадцатого и второго членов этой прогрессии равно 60.

Answer 1

$\begin{cases}b_6+b_{10}=16\\b_2\cdot b_{14}=60\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_1q^5+b_1q^9=16\\b_1q\cdot b_1q^{13}=60\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_1q^5+b_1q^9=16\\b_1^2q^{14}=60\end{cases}\Rightarrow\\\Rightarrow\begin{cases}b_1q^5+b_1q^9=16\\b_1q^{5}\cdot b_1q^9=60\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_6+b_{10}=16\\b_6\cdot b_{10}=60\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b_6=16-b_{10}\\16b_{10}-b_{10}^2=60\end{cases}$
$16b_{10}-b_{10}^2=60\\b_{10}^2-16b_{10}+60=0\\D=256-4\cdot60=16\\b_{10}=6,\;b_{10}=10\\\begin{cases}b_6=10\\b_{10}=6\end{cases}\quad\quad\quad\begin{cases}b_6=6\\b_{10}=10\end{cases}$

Answer 2

Пусть первый член геометрической прогрессии равен а, а знаменатель прогрессии равен q. Тогда шестой член прогрессии будет равен а*q^5, а десятый член будет равен а*q^9.

Из условия задачи известно, что сумма шестого и десятого членов прогрессии равна 16, то есть а*q^5 + а*q^9 = 16.

Также известно, что произведение четырнадцатого и второго членов прогрессии равно 60, то есть а*q^13 * а*q = 60.

Теперь мы можем составить систему уравнений: 1) а*q^5 + а*q^9 = 16 2) а*q^13 * а*q = 60

Решив эту систему уравнений, мы найдем значения а и q, а затем сможем найти шестой и десятый члены прогрессии.

Решение системы уравнений: 1) а*q^5 + а*q^9 = 16 2) а*q^13 * а*q = 60

Из уравнения 2) выразим а*q^13 через а*q: а*q^13 = 60 / (а*q)

Подставим это выражение в уравнение 1): а*q^5 + (60 / (а*q)) * q^9 = 16

Умножим обе части уравнения на а*q^6: а^2 * q^11 + 60 * q^6 = 16 * а * q^6

Теперь можем решить это уравнение относительно а*q^6.

Получившееся уравнение нелинейное, и его решение может быть найдено численными методами или методом подбора.

После нахождения значения а*q^6, можно найти шестой и десятый члены прогрессии, подставив найденное значение q в выражения для шестого и десятого членов прогрессии.