Question

дана функция z=x^2+3y^2-8x-2y-1 найти ее точки экстремума

Answer 1

$\\ z=x^2+3y^2-8x-2y-1\\ z'_x=2x-8\\ z'_y=6y-2$ 

 

$\\2x-8=0\\ 2x=8\\ x=4\\\\ 6y-2=0\\ 6y=2\\ y=\frac{1}{3}\\\\ (4,\frac{1}{3})$

 

$\\z''_{xx}=2\\ z''_{yy}=6\\ z''_{xy}=0\\ \Delta=2\cdot6-0^2=\\ \Delta=12$

 

$\\z(4,\frac{1}{3})=4^2+3\cdot(\frac{1}{3})^2-8\cdot4-2\cdot(\frac{1}{3})-1\\ z(4,\frac{1}{3})=16+\frac{1}{3}-32-\frac{2}{3}-1\\ z(4,\frac{1}{3})=-17-\frac{1}{3}\\ z(4,\frac{1}{3})=-\frac{51}{3}-\frac{1}{3}\\ z(4,\frac{1}{3})=-\frac{52}{3}\\\\ z''_{xx}>0\wedge \Delta>0 \Rightarrow z(4,\frac{1}{3})=z_{min}$ 

 

 

Answer 2

Функция z = x^2 + 3y^2 - 8x - 2y - 1 имеет точки экстремума, которые можно найти, используя производные первого и второго порядка. Давайте найдем эти точки экстремума.

Нахождение производных первого порядка

Для нахождения точек экстремума функции z = x^2 + 3y^2 - 8x - 2y - 1, найдем производные первого порядка по переменным x и y.

Производная по x (dz/dx): ``` dz/dx = 2x - 8 ```

Производная по y (dz/dy): ``` dz/dy = 6y - 2 ```

Нахождение точек экстремума

Чтобы найти точки экстремума, приравняем производные к нулю и решим полученные уравнения относительно x и y.

1) Уравнение для dz/dx: ``` 2x - 8 = 0 2x = 8 x = 4 ```

2) Уравнение для dz/dy: ``` 6y - 2 = 0 6y = 2 y = 1/3 ```

Таким образом, точка экстремума функции z = x^2 + 3y^2 - 8x - 2y - 1 имеет координаты (x, y) = (4, 1/3).

Проверка типа экстремума

Чтобы определить тип экстремума в найденной точке, воспользуемся производными второго порядка.

Производная второго порядка по x (d^2z/dx^2): ``` d^2z/dx^2 = 2 ```

Производная второго порядка по y (d^2z/dy^2): ``` d^2z/dy^2 = 6 ```

Производная второго порядка по x и y (d^2z/dxdy): ``` d^2z/dxdy = 0 ```

Используя эти значения, можно сделать следующие выводы:

- d^2z/dx^2 = 2 > 0, что означает, что в точке (4, 1/3) функция имеет локальный минимум. - d^2z/dy^2 = 6 > 0, что подтверждает, что это локальный минимум. - d^2z/dxdy = 0, что указывает на отсутствие взаимосвязи между x и y в этой точке.

Таким образом, точка (4, 1/3) является точкой локального минимума для функции z = x^2 + 3y^2 - 8x - 2y - 1.