Question

Решите уравнение1-sin2x= -(sinx+cosx)найдите все корни на промежутке -3П/2;П

Answer 1

$1-sin2x=-(sinx+cosx)\\\\t=sinx+cosx\\\\t^2=(sin^2x+cos^2x)+2sinxcosx=1+sin2x\; \; \to \; \; sin2x=t^2-1\\\\\\1-(t^2-1)=-t\\\\t^2-t-2=0\\\\t_1=2,t_2=-1\; (teor.\; Vieta)\\\\1)\; sinx+cosx=2|:\sqrt2$

$\frac{1}{\sqrt2}sinx+\frac{1}{\sqrt2}cosx=\frac{2}{\sqrt2}\\\\cos\frac{\pi}{4}\cdot sinx+sin\frac{\pi}{4}\cdot cosx=\frac{2}{\sqrt2}\\\\sin(x+\frac{\pi}{4})=\frac{2}{\sqrt2}>1\; \to \; net\; reshenij\\\\2)\; sinx+cosx=-1|:\sqrt2\\\\\frac{1}{\sqrt2}sinx+\frac{1}{\sqrt2}cosx=-\frac{1}{\sqrt2}\\\\sin(x+\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{\sqrt2}\\\\x+\frac{\pi}{4}=(-1)^{n+1}\cdot \frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in Z\\\\x=(-1)^{n+1}\cdot \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}+\pi n$

$x= \left \{ {{\pi n,esli\; n-nechetnoe} \atop {-\frac{\pi}{2}+\pi n,esli\; n- chetnoe}} \right.$

Answer 2

Давайте решим уравнение шаг за шагом.

Уравнение, которое у нас есть, это:

1 - sin(2x) = ± (sin(x) + cos(x))

Сначала давайте упростим его. Заметим, что мы можем заменить sin(2x) на 2sin(x)cos(x), используя тригонометрическую формулу двойного угла для синуса.

Теперь у нас есть:

1 - 2sin(x)cos(x) = ± (sin(x) + cos(x))

Давайте рассмотрим два случая: когда правая сторона равна положительному значению и когда она равна отрицательному значению.

Рассмотрим случай, когда правая сторона равна положительному значению:

1 - 2sin(x)cos(x) = sin(x) + cos(x)

Перенесем все члены на одну сторону уравнения:

1 - sin(x) - cos(x) - 2sin(x)cos(x) = 0

Теперь давайте упростим выражение. Заметим, что мы можем представить -2sin(x)cos(x) как -sin(2x), используя тригонометрическую формулу двойного угла для синуса.

Теперь у нас есть:

1 - sin(x) - cos(x) - sin(2x) = 0

Давайте продолжим упрощение:

2cos^2(x) + 2sin(x) - 1 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно cos(x). Решим его, используя квадратное уравнение:

cos^2(x) + sin(x) - 1/2 = 0

(2cos(x) + 1)(cos(x) - 1/2) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных значения для cos(x):

1) cos(x) = -1/2 2) cos(x) = 1/2

Для первого значения, -1/2, мы можем найти соответствующие значения sin(x) и x. Обратите внимание, что -1/2 является значением, которое может быть получено при x = 2π/3 и x = 4π/3.

Для второго значения, 1/2, мы также можем найти соответствующие значения sin(x) и x. Обратите внимание, что 1/2 является значением, которое может быть получено при x = π/6 и x = 11π/6.

Теперь рассмотрим случай, когда правая сторона равна отрицательному значению:

1 - 2sin(x)cos(x) = -(sin(x) + cos(x))

Снова перенесем все члены на одну сторону:

1 + sin(x) + cos(x) - 2sin(x)cos(x) = 0

Упростим выражение, используя ту же тригонометрическую формулу для синуса:

2cos^2(x) - 2sin(x) + 1 = 0

Теперь мы снова имеем квадратное уравнение относительно cos(x). Решим его, используя квадратное уравнение:

cos^2(x) - sin(x) + 1/2 = 0

(2cos(x) - 1)(cos(x) + 1/2) = 0

Таким образом, у нас есть два возможных значения для cos(x):

1) cos(x) = 1/2 2) cos(x) = -1/2

Для первого значения, 1/2, мы можем найти соответствующие значения sin(x) и x. Обратите внимание, что 1/2 является значением, которое может быть получено при x = π/3 и x = 5π/3.

Для второго значения, -1/2, мы также можем найти соответствующие значения sin(x) и x. Обратите внимание, что -1/2 является значением, которое может быть получено при x = 7π/6 и x = 11π/6.

Итак, все корни уравнения на промежутке [-3π/2, π] равны:

x = 2π/3, 4π/3, π/6, 11π/6, π/3, 5π/3, 7π/6, 11π/6

Надеюсь, это помогло! Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать.