Question

СРОЧНО Знайдіть площу S фігури, обмеженої графіками функцій f (x) = - x2 + 6x - 6 і g (x) = x2 - 2x. 6/5 ( кв. од. )3 ( кв. од. )8 ( кв.од )24 (кв. од. )8/3 ( кв.од. )

Answer 1

Відповідь:

8/3 ( кв.од. )

Покрокове пояснення:

Answer 2

Для знаходження площі фігури, обмеженої графіками функцій \( f(x) = -x^2 + 6x - 6 \) та \( g(x) = x^2 - 2x + \frac{6}{5} \), необхідно знайти точки їх перетину. Перш ніж розпочати, скористаємося зручнішим представленням функцій:

\[ f(x) = -x^2 + 6x - 6 \]

\[ g(x) = x^2 - 2x + \frac{6}{5} \]

Знайдемо перетин, розв'язавши рівняння \( f(x) = g(x) \):

\[ -x^2 + 6x - 6 = x^2 - 2x + \frac{6}{5} \]

Зведемо все до одного боку:

\[ -x^2 + 6x - 6 - x^2 + 2x - \frac{6}{5} = 0 \]

Об'єднаємо подібні члени:

\[ -2x^2 + 8x - \frac{36}{5} = 0 \]

Множимо обидві сторони на 5, щоб усунути дріб:

\[ -10x^2 + 40x - 36 = 0 \]

Тепер ми можемо використовувати дискримінант, щоб знайти значення x:

\[ D = b^2 - 4ac \]

Де \( a = -10 \), \( b = 40 \), \( c = -36 \). Підставимо ці значення:

\[ D = (40)^2 - 4(-10)(-36) \]

\[ D = 1600 - 1440 \]

\[ D = 160 \]

Дискримінант додатний, тому у нас є два розв'язки:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x_1 = \frac{-40 + \sqrt{160}}{-20} = \frac{-40 + 4\sqrt{10}}{-20} = 2 - \frac{\sqrt{10}}{5} \]

\[ x_2 = \frac{-40 - \sqrt{160}}{-20} = \frac{-40 - 4\sqrt{10}}{-20} = 2 + \frac{\sqrt{10}}{5} \]

Таким чином, ми знайшли точки перетину графіків \( f(x) \) та \( g(x) \). Тепер, щоб знайти площу фігури, обмеженої цими графіками, вам необхідно взяти визначений інтеграл від \( g(x) \) до \( f(x) \) від \( x_1 \) до \( x_2 \):

\[ S = \int_{x_1}^{x_2} (f(x) - g(x)) \,dx \]

Підставимо значення \( x_1 \) і \( x_2 \):

\[ S = \int_{2 - \frac{\sqrt{10}}{5}}^{2 + \frac{\sqrt{10}}{5}} ((-x^2 + 6x - 6) - (x^2 - 2x + \frac{6}{5})) \,dx \]

\[ S = \int_{2 - \frac{\sqrt{10}}{5}}^{2 + \frac{\sqrt{10}}{5}} (-x^2 + 6x - 6 - x^2 + 2x - \frac{6}{5}) \,dx \]

\[ S = \int_{2 - \frac{\sqrt{10}}{5}}^{2 + \frac{\sqrt{10}}{5}} (-2x^2 + 8x - \frac{36}{5}) \,dx \]

Тепер ви можете обчислити цей визначений інтеграл, щоб знайти площу фігури. Якщо у вас є математичне програмне забезпечення або калькулятор, ви можете використовувати його для обчислення цього інтегралу.