Question

Построить треугольник с вершинами A(1;-2;8), B(0;0;4), и C(6;2;0). Вычислить его площадь и высоту BD.

Answer 1

1. Найдите векторы АВ и АС
2. Вычислите их векторное произведение
3. Вычислите длину получившегося вектора
4. Полученное число разделите на 2, это и будет площадь

Answer 2

Построение треугольника

Для построения треугольника с вершинами A(1;-2;8), B(0;0;4) и C(6;2;0), мы можем использовать координаты вершин для определения длин сторон треугольника и его высоты.

Длины сторон треугольника AB, BC и CA могут быть вычислены с использованием формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Формула выглядит следующим образом:

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2),

где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты двух точек, а d - расстояние между ними.

Применяя эту формулу к каждой паре вершин, мы можем вычислить длины сторон AB, BC и CA:

AB = sqrt((0 - 1)^2 + (0 - (-2))^2 + (4 - 8)^2), BC = sqrt((6 - 0)^2 + (2 - 0)^2 + (0 - 4)^2), CA = sqrt((6 - 1)^2 + (2 - (-2))^2 + (0 - 8)^2).

Вычисление площади треугольника

Площадь треугольника можно вычислить, используя формулу Герона:

S = sqrt(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - CA)),

где p - полупериметр треугольника, который можно вычислить как сумму длин его сторон, деленную на 2:

p = (AB + BC + CA) / 2.

Подставив значения длин сторон AB, BC и CA в формулу, мы можем вычислить площадь треугольника.

Вычисление высоты треугольника BD

Для вычисления высоты треугольника BD, мы можем использовать формулу для площади треугольника:

S = (1/2) * BD * AC,

где S - площадь треугольника, BD - высота, и AC - основание треугольника.

Решив эту формулу относительно BD, мы можем найти высоту треугольника.

Решение

Давайте приступим к вычислениям:

Вычисление длин сторон треугольника:

AB = sqrt((0 - 1)^2 + (0 - (-2))^2 + (4 - 8)^2) = sqrt(1 + 4 + 16) = sqrt(21),

BC = sqrt((6 - 0)^2 + (2 - 0)^2 + (0 - 4)^2) = sqrt(36 + 4 + 16) = sqrt(56),

CA = sqrt((6 - 1)^2 + (2 - (-2))^2 + (0 - 8)^2) = sqrt(25 + 16 + 64) = sqrt(105).

Вычисление полупериметра треугольника:

p = (AB + BC + CA) / 2 = (sqrt(21) + sqrt(56) + sqrt(105)) / 2.

Вычисление площади треугольника:

S = sqrt(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - CA)).

Вычисление высоты треугольника BD:

BD = (2 * S) / AC.

Подставим значения и вычислим результаты.