Question

Сто баллов:Найти f(x) если f(x)+3f(1/x)=1/x

Answer 1

Ответ:

f(x) = 1/(2x).

Пошаговое объяснение:

Подставим в уравнение x вместо 1/x, получим:

f(1/x) + 3f(x) = x

Умножим это уравнение на x:

xf(1/x) + 3xf(x) = x^2

Подставим в это уравнение значение f(1/x), которое мы получили выше:

xf(1/x) + 3xf(x) = x^2

f(x) + 3f(1/x) = 1/x

f(x) + 3(xf(1/x)) = 1/x

f(x) + 3(1/x - f(x)) = 1/x

4f(x) = 2/x

f(x) = 1/(2x)

Таким образом, решением уравнения f(x) + 3f(1/x) = 1/x является функция f(x) = 1/(2x).

Answer 2

Ответ:

Дано: f(x) + 3f(1/x) = 1/x
Чтобы найти f(x), мы можем воспользоваться заменой переменной. Заметим, что если мы заменим x на 1/x, то у нас получится следующее уравнение:
f(1/x) + 3f(x) = x
Теперь мы можем решить систему уравнений относительно f(x) и f(1/x). Для этого умножим первое уравнение на 3 и вычтем из второго:
3f(x) + 9f(1/x) = 3/x
f(x) - 3f(1/x) = 1/x
2f(x) + 6f(1/x) = 2/x
Теперь разделим оба уравнения на 2:
f(x) + 3f(1/x) = 1/3x
f(x) + 3f(1/x) = 1/x
Мы получили два уравнения, которые должны быть равны друг другу. Значит, мы можем вычесть одно из другого:
1/3x = 1/x
Отсюда следует, что x = 3.
Теперь мы можем найти f(x) или f(1/x), используя любое из наших уравнений. Для примера, подставим x = 3 в первое уравнение:
f(3) + 3f(1/3) = 1/3*3
f(3) + f(1/3) = 1/9
Теперь мы можем выразить f(1/3) через f(3):
f(1/3) = 1/9 - f(3)
Таким образом, мы нашли f(1/3) и можем выразить f(x) через нее:
f(x) + 3f(1/x) = 1/x
f(x) + 3(1/9 - f(x/3)) = 1/x
f(x) + 1/3 - 3f(x/3) = 1/x
Это уравнение позволяет нам выразить f(x) через f(x/3). Мы можем продолжать замену переменной, пока не найдем значение f(1), после чего сможем построить график функции f(x).

Answer 3

Давайте решим данное уравнение и найдем функцию f(x).

Исходное уравнение: f(x) + 3f(1/x) = 1/x

Шаг 1: Заменим x на 1/x в исходном уравнении:

f(1/x) + 3f(x) = x

Шаг 2: Умножим каждое слагаемое на x:

xf(1/x) + 3xf(x) = x^2

Шаг 3: Заменим x на 1/x в полученном уравнении:

x^2f(x) + 3x^2f(1/x) = 1

Шаг 4: Сложим полученные уравнения (исходное и полученное после замены):

xf(1/x) + 3xf(x) + x^2f(x) + 3x^2f(1/x) = x + 1

Шаг 5: Перегруппируем слагаемые:

xf(1/x) + x^2f(x) + 3xf(x) + 3x^2f(1/x) = x + 1

Шаг 6: Факторизуем общие слагаемые:

x(f(1/x) + x^2f(x)) + 3x(f(x) + x^2f(1/x)) = x + 1

Шаг 7: Делим обе части уравнения на x:

f(1/x) + x^2f(x) + 3f(x) + 3x^2f(1/x) = 1 + 1/x

Шаг 8: Группируем слагаемые:

(f(1/x) + 3f(x)) + (x^2f(x) + 3x^2f(1/x)) = 1 + 1/x

Шаг 9: Используем исходное уравнение, чтобы заменить выражение в первых скобках:

1/x + (x^2f(x) + 3x^2f(1/x)) = 1 + 1/x

Шаг 10: Упрощаем выражение:

x^2f(x) + 3x^2f(1/x) = 1

Шаг 11: Делим обе части на x^2:

f(x) + 3f(1/x) = 1/x^2

Шаг 12: Заменяем 3f(1/x) в полученном уравнении на значение из исходного уравнения:

f(x) + (1/x) = 1/x^2

Шаг 13: Переносим (1/x) на другую сторону уравнения:

f(x) = 1/x^2 - 1/x

Шаг 14: Общий знаменатель:

f(x) = (1 - x)/x^2

Таким образом, функция f(x) равна (1 - x)/x^2.