Question

Даны разложения чисел a и b на простые множители, найдите НОД (a, b) и НОК(a, b). a) a = 2 в 3-й степени*3 в 4-й степени*5 b) b= 2 в 4-й степени*3 в 5-й степени*5 во 2-й степени

Answer 1

$a= 2^{3}* 3^{4} *5=8*81*5=3240 \\ b= 2^{4} *3^{5}*5^{2}=16*27*25=10800$
НОД(3240; 10800)=1080
НОК(3240; 10800)=32400

Answer 2

Разложение чисел на простые множители

Для решения задачи сначала необходимо разложить числа a и b на их простые множители.

Дано:

a = 2 в 3-й степени * 3 в 4-й степени * 5

b = 2 в 4-й степени * 3 в 5-й степени * 5 во 2-й степени

После разложения чисел на простые множители, мы получаем следующие выражения:

a = 2^3 * 3^4 * 5

b = 2^4 * 3^5 * 5^2

Нахождение НОД(a, b)

НОД (Наибольший общий делитель) двух чисел a и b - это наибольшее число, которое делит и a, и b без остатка.

Для нахождения НОД(a, b), мы должны найти общие простые множители чисел a и b и взять минимальную степень каждого множителя.

Общие простые множители чисел a и b: - 2 взят в 3-й степени (из a) и взят в 4-й степени (из b), минимальная степень = 3 - 3 взят в 4-й степени (из a) и взят в 5-й степени (из b), минимальная степень = 4 - 5 взят в степени 1 (из a) и взят в степени 2 (из b), минимальная степень = 1

Таким образом, НОД(a, b) = 2^3 * 3^4 * 5^1 = 8 * 81 * 5 = 3240.

Нахождение НОК(a, b)

НОК (Наименьшее общее кратное) двух чисел a и b - это наименьшее число, которое делится на a и b без остатка.

Для нахождения НОК(a, b), мы должны взять максимальную степень каждого простого множителя, который встречается в разложении чисел a и b.

Простые множители чисел a и b: - 2 взят в 4-й степени (из b), максимальная степень - 3 взят в 5-й степени (из b), максимальная степень - 5 взят в степени 2 (из b), максимальная степень - 2 взят в 3-й степени (из a) - 3 взят в 4-й степени (из a) - 5 взят в степени 1 (из a)

Таким образом, НОК(a, b) = 2^4 * 3^5 * 5^2 * 2^3 * 3^4 * 5^1 = 16 * 243 * 25 * 8 * 81 * 5 = 97200000.

Итак, НОД(a, b) = 3240, а НОК(a, b) = 97200000.