Question

На доске написано пять целых чисел. Сложив их попарно, получили следующие десять чисел: 0, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 11, 13, 15 Какие пять чисел написаны на доске?

Answer 1

Пусть написаны числа А, B, C, D, E - в порядке возрастания.
Очевидно, что среди чисел нет нулей, иначе бы среди попарных сумм было более одной пары одинаковых. По той же причине среди A,B,C,D,E нет одинаковых.
Следовательно среди чисел есть отрицательное, причем ровно одно, иначе была бы отрицательная сумма.
Итак, А отрицательно, причем, именно В=-А (иначе, получится, что В не наименьшее из положительных) . Но тогда, А+С=2.
И ясно, что одна из четверок получается из суммы А+D, а вторая из B+C.
Таким образом, получаем систему уравнений:
B=-A
A+C=2
A+D=4
B+C=4
D+E=15
Решив ее, получим: A = -1, B = 1, C = 3, D = 5, E = 10
Остальные суммы позволяют проверить, что найденное решение удовлетворяет условию.

Answer 2

Давайте обозначим пять чисел на доске как a, b, c, d, e.

Сложив их попарно, мы получили следующие десять чисел: a + b = 0 a + c = 2 a + d = 4 a + e = 4 b + c = 6 b + d = 8 b + e = 9 c + d = 11 c + e = 13 d + e = 15

Теперь мы можем использовать систему уравнений, чтобы найти значения a, b, c, d, e.

Из первого уравнения (a + b = 0) мы можем выразить b = -a и использовать это значение в других уравнениях.

Из уравнения (a + c = 2) мы можем выразить c = 2 - a.

Из уравнения (a + d = 4) мы можем выразить d = 4 - a.

Из уравнения (a + e = 4) мы можем выразить e = 4 - a.

Теперь мы можем использовать эти выражения для подстановки в другие уравнения и найти значения a, b, c, d, e.

Подставляя значения b, c, d, e в уравнения, мы получаем: 2 - a - a = 6, а отсюда a = -2. 2 - a + 4 - a = 9, а отсюда a = -3. 2 - a + 4 - a = 13, а отсюда a = -3. 4 - a + 4 - a = 15, а отсюда a = -7.

Таким образом, числа на доске равны: -7, -3, -3, -2, 4.