Question

Скласти рівняння висоти та медіани, проведених з вершин А(1;0) трикутника АВС, якщ дві інші вершини В (4;5), С(7;3)

Answer 1

Для того чтобы найти уравнения высот и медиан треугольника, давайте воспользуемся определениями этих линий.

1. Высоты треугольника:

Высота треугольника — это отрезок, проведенный из вершины к противоположной стороне, перпендикулярно этой стороне.

Пусть A(1,0) — вершина треугольника, а B(4,5) и C(7,3) — две другие вершины.

Уравнение прямой, проходящей через точку (x₁, y₁) и перпендикулярной прямой с угловым коэффициентом k, равно \(y - y₁ = -\frac{1}{k}(x - x₁)\), где \(k\) — угловой коэффициент прямой, к которой проведена высота.

Угловой коэффициент прямой, проходящей через A(1,0) и B(4,5), равен \(k = \frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}\).

\[k = \frac{5 - 0}{4 - 1} = \frac{5}{3}\]

Теперь мы можем записать уравнение высоты, проходящей через точку A:

\[y - 0 = -\frac{3}{5}(x - 1)\]

Упростим уравнение:

\[y = -\frac{3}{5}x + \frac{3}{5}\]

Таким образом, уравнение высоты треугольника из вершины A будет \(y = -\frac{3}{5}x + \frac{3}{5}\).

2. Медианы треугольника:

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Найдем середину стороны BC, которая имеет координаты \(\left(\frac{x₂ + x₃}{2}, \frac{y₂ + y₃}{2}\right)\):

\[\left(\frac{4 + 7}{2}, \frac{5 + 3}{2}\right) = (5.5, 4)\]

Теперь мы можем записать уравнение медианы, проходящей через вершину A и середину стороны BC.

Уравнение прямой, проходящей через две точки \((x₁, y₁)\) и \((x₂, y₂)\), задается формулой:

\[y - y₁ = \frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}(x - x₁)\]

Подставим координаты точек A(1,0) и середины стороны BC(5.5, 4):

\[y - 0 = \frac{4 - 0}{5.5 - 1}(x - 1)\]

Упростим уравнение:

\[y = \frac{4}{4.5}x - \frac{4}{4.5} + \frac{4}{4.5}\]

\[y = \frac{4}{4.5}x - \frac{4}{4.5}\]

Таким образом, уравнение медианы треугольника из вершины A будет \(y = \frac{4}{4.5}x - \frac{4}{4.5}\).