Question

Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції f(x)= 1/x^2+1 f(x)=x^2-6x/x+2

Answer 1

$f(x) = 1 \x - 2 \times 2.f(x) = 1 - 2 + (33 - 4) = 30.f(x) = 30 - 1$

Answer 2

Щоб знайти проміжки зростання та спадання, а також точки екстремуму функцій \( f(x) = \frac{1}{{x^2 + 1}} \) і \( f(x) = \frac{{x^2 - 6x}}{{x + 2}} \), спочатку розглянемо похідні цих функцій.

Функція \( f(x) = \frac{1}{{x^2 + 1}} \):

1. Знайдемо похідну: \[ f'(x) = \frac{d}{{dx}}\left(\frac{1}{{x^2 + 1}}\right) \]

Застосуємо правило ланцюгового диференціювання: \[ f'(x) = -\frac{2x}{{(x^2 + 1)^2}} \]

2. Знайдемо точки, де похідна дорівнює нулю або не існує.

\[ -\frac{2x}{{(x^2 + 1)^2}} = 0 \] З цього рівняння видно, що \( x \) не може дорівнювати нулю, тому що ми маємо ділення на \( x \). Таким чином, \( f'(x) \) не має нульових точок.

Зауважте, що \( (x^2 + 1)^2 \) завжди додатнє, отже, \( f'(x) \) завжди від'ємне.

3. Отже, функція \( f(x) \) спадає на всьому діапазоні дійсних чисел.

Функція \( f(x) = \frac{{x^2 - 6x}}{{x + 2}} \):

1. Знайдемо похідну: \[ f'(x) = \frac{d}{{dx}}\left(\frac{{x^2 - 6x}}{{x + 2}}\right) \]

Використовуючи правило диференціювання частки, отримуємо: \[ f'(x) = \frac{(x + 2)(2x - 6) - (x^2 - 6x)}{(x + 2)^2} \]

Спростимо вираз: \[ f'(x) = \frac{2x^2 - 12 - x^2 + 6x}{(x + 2)^2} \] \[ f'(x) = \frac{x^2 + 6x - 12}{(x + 2)^2} \]

2. Знайдемо точки, де похідна дорівнює нулю або не існує.

\[ \frac{x^2 + 6x - 12}{(x + 2)^2} = 0 \]

Розв'язавши це рівняння, отримаємо значення \( x \).

3. Знаючи значення \( x \), можна визначити зростання та спадання функції за допомогою взяття відомих точок між виявленими нульовими точками.

4. Також можна взяти другу похідну для визначення природи точок екстремуму, але для цього необхідно обчислити значення \( f''(x) \): \[ f''(x) = \frac{d}{{dx}}\left(\frac{x^2 + 6x - 12}{(x + 2)^2}\right) \]

І визначити, де \( f''(x) = 0 \) або не існує.

Цей підхід дозволяє вам знайти точки зростання та спадання, а також точки екстремуму для обох функцій. Якщо вам потрібна додаткова допомога при обчисленнях або розв'язанні рівнянь, будь ласка, дайте мені знати.